Osobliwość to punkt, w którym funkcja zmiennej zespolonej $z$ przestaje być analityczna. Oznacza to, że w tym konkretnym momencie nie można go przedstawić jako nieskończonego szeregu potęgowego w $z$. Jest jednak jedno zastrzeżenie: funkcja może pozostać analityczna w punktach dowolnie bliskich tej osobliwości. Kiedy tak się dzieje, nazywamy to cechą izolowaną. Ponieważ funkcje zachowują się w takich punktach nietypowo, należy je rozpatrywać oddzielnie przy analizie modelu matematycznego.
Spójrzmy na konkretny przykład. Weźmy funkcję $f(z) = e^z / z$. Funkcja ta jest analityczna w całej płaszczyźnie zespolonej. Jest zdefiniowany dla wszystkich wartości $z$ z wyjątkiem jednej: $z = 0$. Przy zera rozwinięcie szeregu staje się bez znaczenia, ponieważ zawiera człon $1/z$.
Seria wygląda następująco:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! +\kropki$$
Znak silni ($k!$) oznacza iloczyn liczb całkowitych od $k$ do 1. Obecność wyrazu $1/z$ powoduje, że rozwinięcie jest nieokreślone w początku.
Nie wszystkie funkcje są sobie równe. Sposób postępowania z nimi zależy od zachowania funkcji w sąsiedztwie osobliwości. Jeśli funkcja pozostaje ograniczona w sąsiedztwie osobliwości, można ją w tym momencie przedefiniować, aby rozwiązać problem. Nazywa się to funkcją wymienną.
Ale co, jeśli funkcja nie pozostanie ograniczona? Spójrzmy jeszcze raz na nasz poprzedni przykład. Gdy $z$ zbliża się do zera, funkcja $e^z / z$ dąży do nieskończoności. To nie jest ograniczone. W konsekwencji osobliwość w punkcie $z = 0$ nie jest usuwalna. W tym konkretnym przypadku nazywamy to prostym słupem.
Analizując złożone funkcje, pierwszym krokiem jest określenie typu cechy. Od tego zależy, czy problem można rozwiązać poprzez przedefiniowanie funkcji, czy też słup należy uznać za integralną część modelu.
