Większość studentów matematyki uczy się rozwiązywać równania różniczkowe, znajdując rozwiązanie ogólne. Całkujesz, upraszczasz i otrzymujesz rodzinę krzywych zdefiniowanych przez dowolną stałą c. Zwykle na tym historia się kończy. Ale czasami w matematyce kryje się jeszcze jedna krzywa. Doskonale spełnia równanie różniczkowe. Nie można go jednak znaleźć, podłączając dowolną liczbę do c.
To jest specjalna decyzja.
Nie należy do zwykłej rodziny. Wyróżnia się. W świecie rachunku różniczkowego krzywa ta nazywana jest obwiednią rodziny rozwiązań ogólnych.
Geometria koperty
Pomyśl o ogólnym rozwiązaniu jako o zestawie równoległych szyn lub wiązce gwintów. Każda wartość c oznacza inną szerokość toru. Szczególnym rozwiązaniem jest linia, która styka się z każdym z tych torów dokładnie w jednym punkcie. Dotyka ich wszystkich.
Ta geometryczna zależność jest kluczowa. Jeśli potrafisz wyobrazić sobie ogólne decyzje jako stado ptaków, wówczas konkretna decyzja będzie niewidzialną granicą, która kształtuje ruch stada. Jest to krzywa styczna do danej rodziny krzywych.
Konkretny przykład
Rozważ równanie różniczkowe:
(y ′)² = 4y
Jeśli rozwiążesz go standardowymi metodami, otrzymasz ogólne rozwiązanie:
y = (x + c )²
To równanie opisuje rodzinę paraboli. Przesuń c w lewo lub w prawo, a parabola się przesunie. Ale jest inne rozwiązanie. Linia prosta y = 0 (oś x) również spełnia pierwotne równanie różniczkowe.
Sprawdź to sam. Jeżeli y = 0, to y ′ = 0. Podstawiając te wartości do równania otrzymujemy:
0² = 4(0)
0 = 0
Wszystko działa. Ale spójrz na rozwiązanie ogólne y = (x + c )². Czy potrafisz znaleźć wartość c taką, że to równanie wynosi zero dla wszystkich x? Nie. Dla dowolnego ustalonego c wyrażenie (x + c )² jest dodatnie wszędzie z wyjątkiem punktu x = –c. Nigdy nie tworzy linii prostej y = 0 w całej dziedzinie definicji.
Zatem y = 0 jest rozwiązaniem specjalnym. To jest otoczka paraboli.
Jak to znaleźć
Możesz zastanawiać się, jak znaleźć tę nieuchwytną kopertę podczas rozwiązywania problemów. Sekret tkwi w optymalizacji.
Obwiednia występuje, gdy całkowite rozwiązanie osiąga wartość ekstremalną (maksymalną lub minimalną) w parametrze c dla ustalonego x.
Oto proces krok po kroku:
- Weźmy rozwiązanie ogólne y = (x + c )².
- Traktuj x jako stałą. Znajdź wartość c, która powoduje, że y jest możliwie najmniejsze.
- Ponieważ (x + c )² jest zawsze liczbą nieujemną, jej minimalna wartość wynosi 0. Dzieje się tak, gdy x + c = 0.
- Znajdź c : c = –x.
- Podłącz to z powrotem do rozwiązania ogólnego: y = (x + (-*x
