Většina studentů matematiky se učí řešit diferenciální rovnice hledáním obecného řešení. Integrujete, zjednodušíte a skončíte s rodinou křivek definovaných libovolnou konstantou c. Obvykle zde příběh končí. Ale někdy se v matematice skrývá další křivka. Dokonale splňuje diferenciální rovnici. Nemůžete jej však najít vložením libovolného čísla do c.
Toto je zvláštní rozhodnutí.
Není součástí společné rodiny. Stojí odděleně. Ve světě kalkulu je tato křivka známá jako obálka rodiny obecných řešení.
Geometrie obálky
Představte si celkové řešení jako sadu paralelních kolejnic nebo svazek závitů. Každá hodnota c vám dává jiný rozchod koleje. Speciálním řešením je čára, která se každé z těchto drah dotýká přesně v jednom bodě. Všech se to dotýká.
Tento geometrický vztah je klíčový. Pokud si dokážete představit obecná rozhodnutí jako hejno ptáků, pak konkrétní rozhodnutí je neviditelná hranice, která utváří pohyb hejna. Jedná se o křivku tečnou k dané rodině křivek.
Konkrétní příklad
Zvažte diferenciální rovnici:
(y ′)² = 4y
Pokud to vyřešíte pomocí standardních metod, získáte obecné řešení:
y = (x + c )²
Tato rovnice popisuje rodinu parabol. Pohybem c doleva nebo doprava se parabola pohne. Ale existuje i jiné řešení. Přímka y = 0 (osa x) také splňuje původní diferenciální rovnici.
Přesvědčte se o tom sami. Pokud y = 0, pak y ′ = 0. Dosazením těchto hodnot do rovnice dostaneme:
0² = 4(0)
0 = 0
Všechno funguje. Ale podívejte se na obecné řešení y = (x + c )². Dokážete najít hodnotu pro c takovou, že tato rovnice je nulová pro všechna x? Ne. Pro jakékoli pevné c je výraz (x + c )² kladný všude kromě bodu x = –c. Nikdy netvoří přímku y = 0 v celém definičním oboru.
Takže y = 0 je speciální řešení. Toto je obálka parabol.
Jak to najít
Možná vás napadne, jak najít tuto nepolapitelnou obálku při řešení problémů. Tajemství spočívá v optimalizaci.
Obálka nastane, když celkové řešení dosáhne extrémní hodnoty (maximum nebo minimum) v parametru c pro pevné x.
Zde je postup krok za krokem:
- Vezměte obecné řešení y = (x + c )².
- Považujte x za konstantu. Najděte hodnotu c, díky které bude y co nejmenší.
- Protože (x + c )² je vždy nezáporné, jeho minimální hodnota je 0. K tomu dojde, když x + c = 0.
- Řešte pro c : c = –x.
- Zapojte toto zpět do obecného řešení: y = (x + (-*x
