Kebanyakan siswa matematika belajar menyelesaikan persamaan diferensial dengan mencari solusi umum. Anda mengintegrasikan, menyederhanakan, dan Anda mendapatkan sekumpulan kurva yang ditentukan oleh konstanta sembarang c. Biasanya di situlah cerita berakhir. Namun terkadang, ada kurva lain yang tersembunyi dalam perhitungan. Ini memenuhi persamaan diferensial dengan sempurna. Namun, Anda tidak dapat menemukannya dengan memasukkan nomor apa pun ke c.
Ini adalah solusi tunggal.
Itu bukan bagian dari keluarga umum. Itu berdiri terpisah. Dalam dunia kalkulus, kurva ini dikenal sebagai selubung keluarga solusi umum.
Geometri Amplop
Bayangkan solusi umum sebagai sekumpulan trek paralel atau sekumpulan string. Setiap nilai c memberi Anda trek yang berbeda. Solusi tunggalnya adalah garis yang menyentuh setiap lintasan tersebut tepat pada satu titik. Ini bersinggungan dengan mereka semua.
Hubungan geometris ini adalah kuncinya. Jika Anda dapat memvisualisasikan solusi umum sebagai sekawanan burung, solusi tunggalnya adalah batas tak kasat mata yang membentuk pergerakan kawanan burung. Ini adalah kurva yang bersinggungan dengan kelompok kurva tertentu.
Sebuah Contoh Konkret
Perhatikan persamaan diferensial:
(y ′)² = 4y
Jika Anda menyelesaikannya menggunakan metode standar, Anda mendapatkan solusi umum:
y = (x + c )²
Persamaan ini menggambarkan keluarga parabola. Geser c ke kiri atau kanan, dan parabola akan bergerak. Tapi ada solusi lain. Garis y = 0 (sumbu x) juga memenuhi persamaan diferensial awal.
Periksa sendiri. Jika y = 0, maka y ′ = 0. Masukkan persamaan berikut ke dalam persamaan:
0² = 4(0)
0 = 0
Ini berhasil. Tapi lihat solusi umum y = (x + c )². Bisakah Anda memilih nilai c yang membuat persamaan ini sama dengan nol untuk semua x? Tidak. Untuk c tetap, (x + c )² bernilai positif di semua tempat kecuali di x = –c. Itu tidak pernah membentuk garis y = 0 di seluruh domain.
Jadi, y = 0 adalah solusi tunggal. Itu adalah selubung parabola.
Cara Menemukannya
Anda mungkin bertanya-tanya bagaimana menemukan amplop yang sulit dipahami ini ketika Anda sedang memecahkan masalah. Kuncinya terletak pada optimasi.
Amplop terjadi ketika solusi umum mencapai nilai ekstrem (maksimum atau minimum) terhadap parameter c untuk x tetap.
Berikut adalah proses langkah demi langkah:
- Mulailah dengan solusi umum y = (x + c )².
- Perlakukan x sebagai konstanta. Carilah nilai c yang membuat y sekecil mungkin.
- Karena (x + c )² selalu non-negatif, nilai minimumnya adalah 0. Hal ini terjadi jika x + c = 0.
- Selesaikan c : c = –x.
- Substitusikan kembali ke dalam penyelesaian umum: y = (x + (-*x
