Een singulariteit is een punt waarop een functie van de complexe variabele $z$ niet langer analytisch is. Dit betekent dat je het niet kunt uitdrukken als een oneindige reeks machten van $z$ op die specifieke plek. Maar hier zit het addertje onder het gras: de functie kan nog steeds analytisch zijn op punten die er willekeurig dichtbij liggen. Wanneer dit gebeurt, noemen we het een geïsoleerde singulariteit. Omdat functies zich op deze punten vreemd gedragen, moet u ze afzonderlijk behandelen wanneer u een wiskundig model analyseert.
Laten we eens naar een concreet voorbeeld kijken. Neem de functie $f(z) = e^z / z$. Deze functie is overal in het complexe vlak analytisch. Het werkt voor alle waarden van $z$ behalve één: $z = 0$. Bij nul wordt de reeksuitbreiding afgebroken omdat deze de term $1/z$ bevat.
De serie ziet er als volgt uit:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \punten$$
Het faculteitssymbool ($k!$) betekent eenvoudigweg het product van gehele getallen van $k$ tot en met 1. De aanwezigheid van $1/z$ maakt de uitbreiding bij de oorsprong ongedefinieerd.
Niet alle singulariteiten zijn gelijk geschapen. Hoe u hiermee omgaat, hangt af van het gedrag van de functie in de buurt. Als de functie begrensd blijft in een omgeving rond de singulariteit, kunt u deze op dat punt opnieuw definiëren om het probleem op te lossen. Dit staat bekend als een verwijderbare singulariteit.
Maar wat als de functie niet begrensd blijft? Denk nog eens aan ons eerdere voorbeeld. Als $z$ 0 nadert, schiet $e^z / z$ naar oneindig. Het is niet begrensd. Daarom is de singulariteit bij $z = 0$ niet verwijderbaar. In dit specifieke geval noemen we het een eenvoudige paal.
Wanneer u complexe functies analyseert, is het identificeren van het type singulariteit de eerste stap. Het bepaalt of u het probleem kunt oplossen door de functie opnieuw te definiëren of dat u de paal als inherent onderdeel van het model moet accepteren.
