Una singularidad es un punto donde una función de la variable compleja $z$ deja de ser analítica. Esto significa que no puedes expresarlo como una serie infinita de potencias de $z$ en ese lugar específico. Pero aquí está el problema: la función aún podría ser analítica en puntos arbitrariamente cercanos a ella. Cuando esto sucede, lo llamamos singularidad aislada. Debido a que las funciones se comportan de manera extraña en estos puntos, debes tratarlas por separado cuando analizas un modelo matemático.
Veamos un ejemplo concreto. Tome la función $f(z) = e^z / z$. Esta función es analítica en todas partes del plano complejo. Funciona para todos los valores de $z$ excepto uno: $z = 0$. En cero, la expansión de la serie se descompone porque incluye el término $1/z$.
La serie se ve así:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \puntos + z^n/(n+1)! + \puntos$$
El símbolo factorial ($k!$) simplemente significa el producto de números enteros desde $k$ hasta 1. La presencia de $1/z$ hace que la expansión no esté definida en el origen.
No todas las singularidades son iguales. La forma de manejarlos depende del comportamiento de la función cercana. Si la función permanece limitada en una vecindad alrededor de la singularidad, puedes redefinirla en ese punto para eliminar el problema. Esto se conoce como singularidad removible.
Pero ¿qué pasa si la función no permanece acotada? Consideremos nuevamente nuestro ejemplo anterior. Cuando $z$ se acerca a 0, $e^z / z$ se dispara hacia el infinito. No está limitado. Por lo tanto, la singularidad en $z = 0$ no es eliminable. En este caso específico, lo llamamos polo simple.
Cuando analiza funciones complejas, el primer paso es identificar con qué tipo de singularidad está tratando. Determina si se puede solucionar el problema redefiniendo la función o si hay que aceptar el poste como una parte inherente del modelo.
