Eine Singularität ist ein Punkt, an dem eine Funktion der komplexen Variablen $z$ aufhört, analytisch zu sein. Das bedeutet, dass Sie es an dieser bestimmten Stelle nicht als unendliche Reihe von Potenzen von $z$ ausdrücken können. Aber hier ist der Haken: Die Funktion könnte an Punkten, die beliebig nahe bei ihr liegen, immer noch analytisch sein. Wenn dies geschieht, nennen wir es eine isolierte Singularität. Da sich Funktionen an diesen Punkten seltsam verhalten, müssen Sie sie bei der Analyse eines mathematischen Modells separat behandeln.
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Nehmen Sie die Funktion $f(z) = e^z / z$. Diese Funktion ist überall in der komplexen Ebene analytisch. Es funktioniert für alle Werte von $z$ außer einem: $z = 0$. Bei Null bricht die Reihenentwicklung zusammen, da sie den Term $1/z$ enthält.
Die Serie sieht so aus:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \dots$$
Das Fakultätssymbol ($k!$) bedeutet lediglich das Produkt ganzer Zahlen von $k$ bis hinunter zu 1. Das Vorhandensein von $1/z$ macht die Erweiterung am Ursprung undefiniert.
Nicht alle Singularitäten sind gleich. Wie Sie damit umgehen, hängt vom Verhalten der Funktion in der Nähe ab. Wenn die Funktion in einer Umgebung um die Singularität beschränkt bleibt, können Sie sie an diesem Punkt neu definieren, um das Problem zu beseitigen. Dies wird als entfernbare Singularität bezeichnet.
Was aber, wenn die Funktion nicht beschränkt bleibt? Betrachten Sie noch einmal unser früheres Beispiel. Wenn sich $z$ 0 nähert, schießt $e^z / z$ in die Unendlichkeit. Es ist nicht begrenzt. Daher ist die Singularität bei $z = 0$ nicht entfernbar. In diesem speziellen Fall nennen wir es einen einfachen Pol.
Wenn Sie komplexe Funktionen analysieren, ist es der erste Schritt, herauszufinden, um welche Art von Singularität es sich handelt. Es bestimmt, ob Sie das Problem durch eine Neudefinition der Funktion beheben können oder ob Sie den Pol als inhärenten Teil des Modells akzeptieren müssen.
