Singularitas adalah titik di mana fungsi variabel kompleks $z$ berhenti bersifat analitik. Ini berarti Anda tidak dapat menyatakannya sebagai rangkaian pangkat tak terbatas $z$ di tempat tertentu. Tapi inilah masalahnya: fungsi tersebut mungkin masih bersifat analitik pada titik-titik yang dekat dengannya. Jika hal ini terjadi, kami menyebutnya singularitas terisolasi. Karena fungsi berperilaku aneh pada titik-titik ini, Anda harus memperlakukannya secara terpisah saat menganalisis model matematika.
Mari kita lihat contoh konkritnya. Ambil fungsi $f(z) = e^z / z$. Fungsi ini bersifat analitik di semua bidang kompleks. Ini berfungsi untuk semua nilai $z$ kecuali satu: $z = 0$. Pada angka nol, perluasan deretnya rusak karena mengandung suku $1/z$.
Rangkaiannya terlihat seperti ini:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \titik + z^n/(n+1)! + \titik$$
Simbol faktorial ($k!$) berarti hasil kali bilangan bulat dari $k$ ke 1. Kehadiran $1/z$ membuat pemuaian tidak terdefinisi di titik asal.
Tidak semua singularitas diciptakan sama. Cara Anda menanganinya bergantung pada perilaku fungsi di dekatnya. Jika fungsi tetap dibatasi di lingkungan sekitar singularitas, Anda dapat mendefinisikan ulang fungsi tersebut pada titik tersebut untuk menghilangkan masalah. Hal ini dikenal sebagai singularitas yang dapat dilepas.
Namun bagaimana jika fungsinya tidak dibatasi? Perhatikan kembali contoh kita sebelumnya. Saat $z$ mendekati 0, $e^z / z$ melonjak hingga tak terbatas. Itu tidak dibatasi. Oleh karena itu, singularitas pada $z = 0$ tidak dapat dihilangkan. Dalam kasus khusus ini, kami menyebutnya tiang sederhana.
Saat Anda menganalisis fungsi kompleks, mengidentifikasi jenis singularitas yang Anda hadapi adalah langkah pertama. Ini menentukan apakah Anda dapat memperbaiki masalah dengan mendefinisikan ulang fungsinya atau apakah Anda harus menerima tiang sebagai bagian yang melekat pada model.
