Uma singularidade é um ponto onde uma função da variável complexa $z$ deixa de ser analítica. Isso significa que você não pode expressá-lo como uma série infinita de potências de $z$ naquele local específico. Mas aqui está o problema: a função ainda pode ser analítica em pontos arbitrariamente próximos dela. Quando isso acontece, chamamos isso de singularidade isolada. Como as funções se comportam de maneira estranha nesses pontos, é necessário tratá-las separadamente ao analisar um modelo matemático.
Vejamos um exemplo concreto. Pegue a função $f(z) = e^z / z$. Esta função é analítica em todo o plano complexo. Funciona para todos os valores de $z$, exceto um: $z = 0$. Em zero, a expansão da série é interrompida porque inclui o termo $1/z$.
A série fica assim:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \pontos$$
O símbolo fatorial ($k!$) significa apenas o produto de inteiros de $k$ até 1. A presença de $1/z$ torna a expansão indefinida na origem.
Nem todas as singularidades são criadas iguais. Como você lida com eles depende do comportamento da função próxima. Se a função permanecer limitada em uma vizinhança ao redor da singularidade, você poderá redefini-la nesse ponto para remover o problema. Isso é conhecido como singularidade removível.
Mas e se a função não permanecer limitada? Considere nosso exemplo anterior novamente. À medida que $z$ se aproxima de 0, $e^z / z$ dispara para o infinito. Não é limitado. Portanto, a singularidade em $z = 0$ não é removível. Neste caso específico, chamamos isso de pólo simples.
Ao analisar funções complexas, identificar com que tipo de singularidade você está lidando é o primeiro passo. Ele determina se você pode resolver o problema redefinindo a função ou se precisa aceitar o pólo como uma parte inerente do modelo.
