Особливість — це точка, в якій функція комплексної змінної $z$ перестає бути аналітичною. Це означає, що в цій конкретній точці її не можна представити у вигляді нескінченного статечного ряду $z$. Але є один нюанс: функція може залишатися аналітичною в точках, скільки завгодно близьких до цієї особливості. Коли це відбувається, ми називаємо її ізольованою особливістю. Оскільки у таких точках функції поводяться незвичайно, їх необхідно розглядати окремо під час аналізу математичної моделі.
Розглянемо конкретний приклад. Візьмемо функцію $f(z) = e^z/z$. Ця функція є аналітичною у всій комплексній площині. Вона визначена всім значень $z$, крім одного: $z = 0$. У нулі розкладання ряд втрачає сенс, оскільки воно містить член $1/z$.
Ряд виглядає так:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \dots$$
Знак факторіалу ($k!$) означає добуток цілих чисел від $k$ до 1. Наявність члена $1/z$ робить розкладання невизначеним на початку координат.
Не всі особливості однакові. Те, як із ними поводитися, залежить від поведінки функції на околиці особливості. Якщо функція залишається обмеженою в околиці особливості, її можна перевизначити у цій точці, щоб усунути проблему. Це називається “усувною особливістю”.
А що робити, якщо функція не залишається обмеженою? Розгляньмо наш попередній приклад ще раз. При наближенні $z$ до нуля функція $e^z/z$ прагне нескінченності. Вона не обмежена. Отже, особливість у точці $z = 0$ не є усувною. У даному випадку ми називаємо її простим полюсом.
Під час аналізу комплексних функцій першим кроком є визначення типу особливості. Це визначає, чи можна усунути проблему шляхом перевизначення функції або необхідно прийняти полюс як невід’ємну частину моделі.
