Ви, мабуть, уже стикалися з ними. Вони зустрічаються під час уроків математики, безумовно. Вони також ховаються у фізичних рівняннях, де змінні та показники ступеня перетинаються. Але вони можуть бути такими ж простими, як додавання двох чисел, а потім віднімання одного.
Це комбіновані операції.
Визначення просте. Вони складаються з кількох арифметичних операцій, які виконуються послідовно. Уявіть додавання, віднімання, множення і розподіл, збудовані в один вираз.
Чому це важливо? Тому що життя рідко має справу лише з одним числом за один раз. Реальні завдання потребують ланцюжка кроків. Вам потрібно знати порядок. Вам необхідно знати логіку.
Основна концепція проста. Йдеться про послідовність. Йдеться про пріоритет. Без чіткого методу ви щоразу отримуєте неправильну відповідь.
Чому порядок має значення
Уявіть, що ви купуєте матеріали для проекту. Ви маєте бюджет. Вам необхідно розрахувати витрати.
Якщо ви просто рухаєтеся ліворуч, ви можете помилитися в загальній сумі. Ось тут і набувають чинності “комбіновані операції”. Вони змушують вас дотримуватися ієрархії математики.
Це стосується не лише школи. Це стосується точності. Невелика помилка у послідовності може спотворити весь науковий розрахунок. Або бізнес-модель. Або рецепт.
Розбір кроків
Давайте розглянемо основні елементи.
- Додавання
- Віднімання
- множення
- Поділ
Це – інструменти. Коли ви поєднуєте їх, ви створюєте складність. Але ця складність керована. Вам потрібна стратегія.
Почніть із найскладнішої частини. Розберіться зі ступенями, якщо вони є. Потім займіться множенням та поділом. Нарешті, виконайте складання та віднімання.
Це стандартний підхід. Він працює для простих сум. Він працює на складних фізичних формул. Принцип залишається тим самим.
Дотримуйтесь порядку. Дотримуйтесь операцій. Отримуйте правильну відповідь.
Порядок виконання операцій: PEMDAS та за його межами
Бажаєте дізнатися відповіді на ці три комбіновані операції? Вони дорівнюють 8, 6 і 3,75. Щоб прийти до них, не потрібна магія. Потрібна сувора ієрархія. Не можна завжди діяти зліва направо. Якщо проігнорувати правила, ви отримаєте неправильний результат.
Загальне інтуїтивне бажання виконувати обчислення зліва направо. Це працює для простих ланцюжків складання або віднімання. Але реальна математика стає складнішою. Вам потрібна система.
Як правильно вирішувати комбіновані операції
Існує ієрархія, яку необхідно дотримуватись. Ігноруйте її на свій страх та ризик.
- Купки : Все, що знаходиться всередині них, виконується в першу чергу.
- Ступені : Зведення у ступінь та вилучення коренів виконуються такими.
- Множення та розподіл : Вони мають рівний пріоритет. Виконуються зліва направо.
- Складання та віднімання : Останній крок. Також виконується зліва направо.
Запам’ятайте абревіатуру PEMDAS. Вона розшифровується як Parentheses (Купки), Exponents (Ступені), Multiplication (Множення), Division (Ділення), Addition (Складання), Subtraction (Віднімання). Це мнемонічне правило. Використовуйте його, доки воно не стане м’язовою пам’яттю.
Ось як ця ієрархія виглядає практично.
Візьміть вираз із дужками та радикалами. Спочатку необхідно розкрити дужки. Потім обробіть коріння. Якщо є інші ступені, обчисліть їх такими. І тільки після цього переходьте до множення та поділу. Пам’ятайте: зліва направо. Нарешті, складіть і відніміть те, що залишилося. Результат може дорівнювати 6.
Приклади комбінованих операцій
Нижче наведено кілька вирішених завдань. Спочатку спробуйте вирішити їх самостійно. Перевірте свої відповіді щодо рішень. Саме тут відбувається навчання.
Комбіновані операції тільки зі складанням та відніманням
Якщо у вас є тільки додавання та віднімання, турбуватися про ієрархію не потрібно. Просто дійте зліва направо.
Результат тут дорівнює 12.
Комбіновані операції з натуральними числами
Натуральні числа повертають дужки та ступеня у гру. Вони мають пріоритет.
Спочатку вирішіть вираз усередині дужок. Потім обробіть ступені. Результат дорівнює 30.
Комбіновані операції з цілими числами
Негативні числа дещо змінюють правила гри. Ви, як і раніше, дотримуєтеся ієрархії. Ступені та поділ мають пріоритет над додаванням та відніманням.
Слідкуйте за знаками. Підсумковий результат дорівнює -2.
Комбіновані операції з дробами
Дроби додають рівень складності. Ви повинні помножити дроби перед тим, як складати чи віднімати їх.
Рішення складає приблизно 7,083. Щоб скласти цілі числа та дроби, перетворіть ціле число за допомогою спільного знаменника. Помножте і розділіть цей знаменник, щоб усі частини збіглися.
Комбіновані операції зі знаками угруповання
Складні завдання часто використовують дужки та квадратні дужки.
Пріоритет віддавайте найбільшим внутрішнім обчисленням. Якщо одна дужка знаходиться всередині іншої, спочатку розв’яжіть внутрішню. Потім переходьте до зовнішніх. Результат дорівнює 10.
