Більшість студентів-математиків навчаються вирішувати диференціальні рівняння, знаходячи загальне рішення. Ви інтегруєте, спрощує і в результаті отримуєте сімейство кривих, що визначаються довільною постійною c. Зазвичай, на цьому історія закінчується. Але іноді в математиці ховається інша крива. Вона ідеально задовольняє диференціальне рівняння. Однак ви не можете знайти її, підставивши якесь число c.
Це “особливе рішення”.
Воно не є частиною загальної родини. Воно стоїть окремо. У світі математичного аналізу ця крива відома як огинаюча сімейства загальних рішень.
Геометрія огинаючих
Подайте загальне рішення як набір паралельних рейок або пучок ниток. Кожне значення c дає вам іншу колію колії. Особливе рішення – це лінія, яка стосується кожної з цих колій в одній точці. Вона стосується всіх їм.
Це геометричне співвідношення є ключовим. Якщо ви можете візуалізувати загальні рішення як зграю птахів, то особливе рішення – це невидимий кордон, який формує рух зграї. Це крива, яка стосується заданого сімейства кривих.
Конкретний приклад
Розглянемо диференціальне рівняння:
(y ′)² = 4y
Якщо вирішити його стандартними методами, вийде загальне рішення:
y = (x + c )²
Це рівняння описує сімейство парабол. Посуньте c ліворуч або праворуч, і парабола переміститься. Але є ще одне рішення. Пряма y = 0 (вісь абсцис) також задовольняє вихідного диференціального рівняння.
Перевірте це самі. Якщо y = 0, то y ′ = 0. Підставивши ці значення до рівняння, отримаємо:
0² = 4(0)
0 = 0
Все працює. Але подивіться загальне рішення y = (x + c )². Чи можете ви підібрати таке значення c, щоб це рівняння дорівнювало нулю для всіх x? Ні. Для будь-якого фіксованого c вираз (x + c )² позитивно скрізь, крім точки x = –c. Воно ніколи не утворює пряму y = 0 по всій області визначення.
Таким чином, y = 0 — це особливе рішення. Це оминає парабол.
Як її знайти
Ви можете поставити питання, як знайти цю elusive обгинаючу при вирішенні завдань. Секрет у оптимізації.
Огинає виникає там, де загальне рішення досягає екстремального значення (максимуму або мінімуму) за параметром c при фіксованому x.
Ось покроковий процес:
- Візьміть загальне рішення y = (x + c )².
- Вважайте x константою. Знайдіть значення c, при якому y стає якнайменше.
- Оскільки (x + c )² завжди невід’ємно, його мінімальне значення дорівнює 0. Це відбувається, коли x + c = 0.
- Вирішіть щодо c : c = –x.
- Підставте це назад у загальне рішення: y = (x + (-*x
