Una singolarità è un punto in cui una funzione della variabile complessa $z$ smette di essere analitica. Ciò significa che non puoi esprimerlo come una serie infinita di potenze di $z$ in quel punto specifico. Ma ecco il problema: la funzione potrebbe ancora essere analitica in punti arbitrariamente vicini ad essa. Quando ciò accade, la chiamiamo singolarità isolata. Poiché le funzioni si comportano in modo strano in questi punti, è necessario trattarle separatamente quando si analizza un modello matematico.
Diamo un’occhiata a un esempio concreto. Prendi la funzione $f(z) = e^z / z$. Questa funzione è analitica ovunque nel piano complesso. Funziona per tutti i valori di $z$ tranne uno: $z = 0$. A zero, l’espansione in serie si interrompe perché include il termine $1/z$.
La serie si presenta così:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \punti$$
Il simbolo fattoriale ($k!$) indica semplicemente il prodotto di numeri interi da $k$ fino a 1. La presenza di $1/z$ rende l’espansione indefinita all’origine.
Non tutte le singolarità sono create uguali. Il modo in cui li gestisci dipende dal comportamento della funzione nelle vicinanze. Se la funzione rimane confinata in un intorno alla singolarità, è possibile ridefinirla a quel punto per eliminare il problema. Questa è nota come singolarità rimovibile.
Ma cosa succede se la funzione non rimane limitata? Consideriamo nuovamente il nostro esempio precedente. Quando $z$ si avvicina a 0, $e^z / z$ aumenta all’infinito. Non è delimitato. Pertanto, la singolarità in $z = 0$ non è rimovibile. In questo caso specifico lo chiameremo palo semplice.
Quando analizzi funzioni complesse, identificare il tipo di singolarità con cui hai a che fare è il primo passo. Determina se è possibile risolvere il problema ridefinendo la funzione o se è necessario accettare il palo come parte intrinseca del modello.
