Ketertiban bersembunyi di dalam kekacauan. Ini adalah tugas utama teori Ramsey.
Selama sembilan puluh tahun, para ahli matematika mencoba menemukannya. Kemajuannya glasial.
Mereka ingin tahu kapan keacakan berhenti bekerja. Ketika struktur menjadi wajib.
Subyeknya? Grafik.
Bukan grafik dengan batang. Jaringan. Titik-titik yang dihubungkan oleh garis.
Pikirkan rute penerbangan. Pikirkan persahabatan. Bayangkan molekul.
Grafik apa pun yang cukup besar mengandung dua hal.
Sebuah klik. Sebuah grup di mana semua orang mengenal semua orang.
Atau kumpulan independen. Sekelompok orang yang tidak mengenal siapa pun.
R(3,10). Itulah pertanyaannya. Seberapa besar jaringan sosial yang diperlukan untuk menjamin adanya tiga teman atau sepuluh orang asing?
Kami tidak tahu jawabannya.
Kurang dari tiga puluh angka Ramsey yang ada. Sisanya adalah misteri.
Jadi ahli matematika menggunakan batas. Sebuah jebakan.
Bayangkan sebuah pemadat sampah Star Wars. 🤖
Batas bawah adalah satu dinding. Batas atas adalah batas lainnya.
Selama beberapa dekade kesenjangannya sangat besar.
Kemudian Domagoj Bradaä muncul.
Dia bekerja di Institut Teknologi Federal Swiss. Bulan lalu dia memposting bukti. Itu menghancurkan penghalang.
Dindingnya bergerak masuk. Tutup. Sangat dekat.
Begini cara dia melakukannya.
“Geometri adalah sesuatu yang kita pahami jauh lebih baik daripada teori graf.” — Marcelo Campos
Bradaä tidak memulai dengan kekacauan. Dia mulai dengan geometri.
Dia membuat grafik raksasa terlebih dahulu. Kaku. Aljabar. Tersusun.
Mengapa?
Karena geometri memberi Anda properti secara gratis.
Lalu dia menambahkan kekacauan.
Dia secara acak memotong grafik geometris besarnya. Mengambil sepotong. Menghapus beberapa node buruk.
Hasilnya?
Grafik yang berkembang secara masif. Tapi menghindari pola.
Tidak ada klik. Tidak ada himpunan independen yang besar.
Hampir tidak bertahan.
Batas atas terbaik? Terjebak sejak tahun 193-an. Bradaä hampir menyentuhnya.
“Dalam dunia yang ideal saya hanya akan mengatakan: inilah grafiknya. Anda akan selesai.” — Domagoj Bradaâ
Sayangnya dunia ini tidak ideal.
Dia membuktikan mereka bisa ada. Dia tidak memberikannya satu pun. Itulah metode probabilistik. Diciptakan oleh Paul Erdäs. Membuktikan keberadaan secara kebetulan.
Bukti Bradaâ bagus. Tapi itu bukanlah akhir.
Masukkan AI.
OpenAI melihat kertas itu. Masukkan ke dalam model penalaran mereka.
AI menemukan perubahan.
Bukan pengganti. Sebuah penajaman.
Hal ini menghilangkan sedikit ketidakpastian yang tersisa dalam batasan Bradaâ.
Sekarang batas bawah dan atas cocok dengan kesenjangan polilogaritmik.
Pada dasarnya tidak ada apa-apa.
Apakah permainannya sudah selesai?
Kurang tepat.
“Kami tidak mencoba memperbaiki makalah arXiv secara sistematis. Kami hanya beruntung.” — Mehtaab Sawhney (OpenAI)
AI tidak menyelesaikan semuanya. Ini mengencangkan sekrup pada karya Bradaâ.
Marcelo Campos suka mengingatkan kita siapa yang melakukan pekerjaan berat. Konsepnya berasal dari manusia. AI baru saja membersihkan bagian tepinya.
Tetap.
AI memperbaiki masalah matematika yang sudah berusia seabad. Dalam beberapa minggu.
Siapa yang tahu?
Kami berdiri tepat di samping kebenaran angka Ramsey.
Kesenjangannya tipis. Seperti es di bulan April.
Injak dan lihat apa yang rusak.
