Singularita je bod, ve kterém funkce komplexní proměnné $z$ přestává být analytická. To znamená, že v tomto konkrétním bodě to nemůže být reprezentováno jako nekonečná mocninná řada v $z$. Ale je tu jedno upozornění: funkce může zůstat analytická v bodech libovolně blízkých této singularitě. Když k tomu dojde, nazýváme to izolovaná funkce. Protože se funkce v takových bodech chovají neobvykle, musí být při analýze matematického modelu uvažovány samostatně.
Podívejme se na konkrétní příklad. Vezměme si funkci $f(z) = e^z / z$. Tato funkce je analytická v celé komplexní rovině. Je definován pro všechny hodnoty $z$ kromě jedné: $z = 0$. Při nule ztrácí expanze řady smysl, protože obsahuje výraz $1/z$.
Seriál vypadá takto:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \tečky + z^n/(n+1)! +\tečky$$
Faktoriální znaménko ($k!$) znamená součin celých čísel od $k$ do 1. Přítomnost členu $1/z$ způsobuje, že expanze není v počátku definována.
Ne všechny funkce jsou stvořeny stejně. Jak s nimi zacházet, závisí na chování funkce v okolí singularity. Pokud funkce zůstane ohraničená v sousedství singularity, lze ji v tomto bodě předefinovat, aby se problém vyřešil. Toto se nazývá odnímatelná funkce.
Co když ale funkce nezůstane omezená? Podívejme se znovu na náš předchozí příklad. Když se $z$ blíží nule, funkce $e^z / z$ má tendenci k nekonečnu. Není omezená. V důsledku toho singularita v bodě $z = 0$ není odstranitelná. V tomto konkrétním případě tomu říkáme jednoduchá tyč.
Při analýze komplexních funkcí je prvním krokem určení typu prvku. To určuje, zda lze problém vyřešit předefinováním funkce nebo zda musí být pól přijat jako integrální součást modelu.
