Особенность — это точка, в которой функция комплексной переменной $z$ перестаёт быть аналитической. Это означает, что в этой конкретной точке её нельзя представить в виде бесконечного степенного ряда по $z$. Но есть один нюанс: функция может оставаться аналитической в точках, сколь угодно близких к этой особенности. Когда это происходит, мы называем её изолированной особенностью. Поскольку в таких точках функции ведут себя необычно, их необходимо рассматривать отдельно при анализе математической модели.
Рассмотрим конкретный пример. Возьмём функцию $f(z) = e^z / z$. Эта функция аналитична во всей комплексной плоскости. Она определена для всех значений $z$, кроме одного: $z = 0$. В нуле разложение в ряд теряет смысл, поскольку оно содержит член $1/z$.
Ряд выглядит следующим образом:
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1)! + \dots$$
Знак факториала ($k!$) означает произведение целых чисел от $k$ до 1. Наличие члена $1/z$ делает разложение неопределённым в начале координат.
Не все особенности одинаковы. То, как с ними обращаться, зависит от поведения функции в окрестности особенности. Если функция остаётся ограниченной в окрестности особенности, её можно переопределить в этой точке, чтобы устранить проблему. Это называется устранимой особенностью.
А что делать, если функция не остаётся ограниченной? Рассмотрим наш предыдущий пример ещё раз. При приближении $z$ к нулю функция $e^z / z$ стремится к бесконечности. Она не ограничена. Следовательно, особенность в точке $z = 0$ не является устранимой. В данном конкретном случае мы называем её простым полюсом.
При анализе комплексных функций первым шагом является определение типа особенности. Это определяет, можно ли устранить проблему путём переопределения функции или же необходимо принять полюс как неотъемлемую часть модели.
