Вы, вероятно, уже сталкивались с ними. Они встречаются на уроках математики, безусловно. Они также скрываются в физических уравнениях, где переменные и показатели степени пересекаются. Но они могут быть такими же простыми, как сложение двух чисел, а затем вычитание одного.
Это комбинированные операции.
Определение простое. Они состоят из нескольких арифметических операций, выполняемых последовательно. Представьте сложение, вычитание, умножение и деление, выстроенные в одно выражение.
Почему это важно? Потому что жизнь редко имеет дело только с одним числом за раз. Реальные задачи требуют цепочки шагов. Вам нужно знать порядок. Вам нужно знать логику.
Основная концепция проста. Речь идет о последовательности. Речь идет о приоритете. Без четкого метода вы каждый раз получаете неправильный ответ.
Почему порядок имеет значение
Представьте, что вы покупаете материалы для проекта. У вас есть бюджет. Вам нужно рассчитать расходы.
Если вы просто двигаетесь слева направо, вы можете ошибиться в общей сумме. Вот здесь и вступают в силу комбинированные операции. Они заставляют вас соблюдать иерархию математики.
Это касается не только школы. Это касается точности. Небольшая ошибка в последовательности может исказить весь научный расчет. Или бизнес-модель. Или рецепт.
Разбор по шагам
Давайте рассмотрим основные элементы.
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
Это инструменты. Когда вы комбинируете их, вы создаете сложность. Но эта сложность управляема. Вам просто нужна стратегия.
Начните с самой сложной части. Разберитесь со степенями, если они есть. Затем займитесь умножением и делением. Наконец, выполните сложение и вычитание.
Это стандартный подход. Он работает для простых сумм. Он работает для сложных физических формул. Принцип остается тем же.
Соблюдайте порядок. Соблюдайте операции. Получайте правильный ответ.
Порядок выполнения операций: PEMDAS и за его пределами
Хотите узнать ответы на эти три комбинированные операции? Они равны 8, 6 и 3,75. Чтобы к ним прийти, не нужна магия. Требуется строгая иерархия. Нельзя просто всегда действовать слева направо. Если проигнорировать правила, вы получите неверный результат.
Общее интуитивное желание — выполнять вычисления слева направо. Это работает для простых цепочек сложения или вычитания. Но реальная математика становится сложнее. Вам нужна система.
Как правильно решать комбинированные операции
Существует иерархия, которую необходимо соблюдать. Игнорируйте её на свой страх и риск.
- Скобки : Всё, что находится внутри них, выполняется в первую очередь.
- Степени : Возведение в степень и извлечение корней выполняются следующими.
- Умножение и деление : Они имеют равный приоритет. Выполняются слева направо.
- Сложение и вычитание : Последний шаг. Также выполняется слева направо.
Запомните аббревиатуру PEMDAS. Она расшифровывается как Parentheses (Скобки), Exponents (Степени), Multiplication (Умножение), Division (Деление), Addition (Сложение), Subtraction (Вычитание). Это мнемоническое правило. Используйте его, пока оно не станет мышечной памятью.
Вот как эта иерархия выглядит на практике.
Возьмите выражение со скобками и радикалами. Сначала необходимо раскрыть скобки. Затем обработайте корни. Если есть другие степени, вычислите их следующими. И только после этого переходите к умножению и делению. Помните: слева направо. Наконец, сложите и вычтите то, что осталось. Результат может быть равен 6.
Примеры комбинированных операций
Ниже приведено несколько решённых задач. Сначала попробуйте решить их самостоятельно. Проверьте свои ответы по решениям. Именно здесь происходит обучение.
Комбинированные операции только со сложением и вычитанием
Если у вас есть только сложение и вычитание, беспокоиться об иерархии не нужно. Просто действуйте слева направо.
Результат здесь равен 12.
Комбинированные операции с натуральными числами
Натуральные числа возвращают скобки и степени в игру. Они имеют приоритет.
Сначала решите выражение внутри скобок. Затем обработайте степени. Результат равен 30.
Комбинированные операции с целыми числами
Отрицательные числа немного меняют правила игры. Вы по-прежнему следуете иерархии. Степени и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием.
Следите за знаками. Итоговый результат равен -2.
Комбинированные операции с дробями
Дроби добавляют уровень сложности. Вы должны умножить дроби перед тем, как складывать или вычитать их.
Решение составляет приблизительно 7,083. Чтобы сложить целые числа и дроби, преобразуйте целое число, используя общий знаменатель. Умножьте и разделите на этот знаменатель, чтобы все части совпали.
Комбинированные операции со знаками группировки
Сложные задачи часто используют скобки и квадратные скобки.
Приоритет отдавайте самым внутренним вычислениям. Если одна скобка находится внутри другой, сначала решите внутреннюю. Затем переходите к внешним. Результат равен 10.
