Une singularité est un point où une fonction de la variable complexe $z$ cesse d’être analytique. Cela signifie que vous ne pouvez pas l’exprimer comme une série infinie de puissances de $z$ à cet endroit spécifique. Mais voici le problème : la fonction peut toujours être analytique en des points arbitrairement proches d’elle. Lorsque cela se produit, nous appelons cela une singularité isolée. Étant donné que les fonctions se comportent étrangement à ces points, vous devez les traiter séparément lorsque vous analysez un modèle mathématique.
Regardons un exemple concret. Prenons la fonction $f(z) = e^z / z$. Cette fonction est analytique partout dans le plan complexe. Cela fonctionne pour toutes les valeurs de $z$ sauf une : $z = 0$. A zéro, l’expansion de la série s’effondre car elle inclut le terme $1/z$.
La série ressemble à ceci :
$$1/z + 1 + z/2 + z^2/6 + \dots + z^n/(n+1) ! + \points$$
Le symbole factoriel ($k!$) signifie simplement le produit d’entiers de $k$ jusqu’à 1. La présence de $1/z$ rend le développement indéfini à l’origine.
Toutes les singularités ne sont pas égales. La façon dont vous les gérez dépend du comportement de la fonction à proximité. Si la fonction reste délimitée dans un voisinage autour de la singularité, vous pouvez la redéfinir à ce stade pour supprimer le problème. C’est ce qu’on appelle une singularité amovible.
Mais que se passe-t-il si la fonction ne reste pas limitée ? Reprenons notre exemple précédent. À mesure que $z$ s’approche de 0, $e^z / z$ s’envole vers l’infini. Ce n’est pas limité. Par conséquent, la singularité à $z = 0$ n’est pas supprimable. Dans ce cas précis, nous appelons cela un pôle simple.
Lorsque vous analysez des fonctions complexes, identifier le type de singularité auquel vous avez affaire est la première étape. Il détermine si vous pouvez résoudre le problème en redéfinissant la fonction ou si vous devez accepter le poteau comme partie intégrante du modèle.
