La mayoría de los estudiantes de matemáticas aprenden a resolver ecuaciones diferenciales encontrando una solución general. Integras, simplificas y terminas con una familia de curvas definidas por una constante arbitraria c. Normalmente ahí es donde termina la historia. Pero a veces hay otra curva escondida en las matemáticas. Satisface perfectamente la ecuación diferencial. Sin embargo, no puede encontrarlo ingresando ningún número en c.
Esta es una solución singular.
No es parte de la familia general. Se destaca. En el mundo del cálculo, esta curva se conoce como envolvente de la familia de soluciones generales.
La geometría de las envolventes
Piense en la solución general como un conjunto de pistas paralelas o un conjunto de cuerdas. Cada valor de c te da una pista diferente. La solución singular es la línea que toca cada una de esas pistas exactamente en un punto. Es tangente a todos ellos.
Esta relación geométrica es clave. Si podemos visualizar las soluciones generales como una bandada de pájaros, la solución singular es el límite invisible que da forma al movimiento de la bandada. Es la curva que es tangente a una familia de curvas determinada.
Un ejemplo concreto
Considere la ecuación diferencial:
(y ′)² = 4y
Si resuelves esto usando métodos estándar, obtendrás la solución general:
y = (x + c )²
Esta ecuación describe una familia de parábolas. Desplaza c hacia la izquierda o hacia la derecha y la parábola se mueve. Pero hay otra solución. La recta y = 0 (el eje x) también satisface la ecuación diferencial original.
Compruébalo tú mismo. Si y = 0, entonces y ′ = 0. Sustituyendo esto en la ecuación:
0² = 4(0)
0 = 0
Funciona. Pero mire la solución general y = (x + c )². ¿Puedes elegir un valor para c que haga que esta ecuación sea igual a cero para todo x? No. Para cualquier c fijo, (x + c )² es positivo en todas partes excepto en x = –c. Nunca forma la línea y = 0 en todo el dominio.
Entonces, y = 0 es una solución singular. Es la envolvente de las parábolas.
Cómo encontrarlo
Quizás se pregunte cómo localizar este sobre esquivo cuando está resolviendo problemas. El truco está en la optimización.
La envolvente ocurre donde la solución general alcanza un valor extremo (máximo o mínimo) con respecto al parámetro c para un x fijo.
Aquí está el proceso paso a paso:
- Comience con la solución general y = (x + c )².
- Trate a x como una constante. Busque el valor de c que hace que y sea lo más pequeño posible.
- Dado que (x + c )² siempre no es negativo, su valor mínimo es 0. Esto sucede cuando x + c = 0.
- Resuelva para c : c = –x.
- Sustituya esto nuevamente en la solución general: y = (x + (-*x
