Anda membagi 30 dengan 15. Anda mendapatkan 2. Cukup sederhana. Itu 2 adalah bilangan rasional. Begitu juga dengan 0,333 yang berulang. Begitu juga -4.
Tapi pi? Tidak. Pi berantakan. Itu berlangsung selamanya tanpa terulang kembali. Itu menjadikannya tidak rasional.
Simbol bilangan rasional adalah Q. Jika Anda melihat suatu bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan dari dua bilangan bulat (yang bilangan terbawahnya bukan nol), maka bilangan tersebut termasuk dalam Q.
Ini lebih penting daripada yang Anda pikirkan. Anda menggunakan angka-angka ini untuk mengukur bahan-bahan, membagi tagihan, dan menghitung kecepatan. Mereka adalah tulang punggung matematika dasar, fisika, dan kimia. Kalau bisa ditulis a / b, itu rasional. Jika tidak bisa, itu tidak rasional.
Inilah cara membedakannya tanpa mencabut rambut Anda.
Cara mengenali bilangan rasional dalam tiga jenis
Tidak semua bilangan rasional terlihat sama. Beberapa utuh. Beberapa memiliki desimal yang berhenti. Beberapa berulang selamanya. Ketiganya dihitung.
1. Bilangan bulat (Bilangan Bulat)
Ya, bilangan bulat itu rasional. Masing-masing dari mereka.
Ambil 5. Sepertinya hanya “5”. Namun Anda dapat menuliskannya sebagai 100/20. Anda dapat menuliskannya sebagai 10/2. Anda dapat menuliskannya sebagai 5/1. Selama Anda dapat menyatakannya sebagai perbandingan dua bilangan bulat, maka itu sesuai dengan definisinya.
Angka negatif juga bisa digunakan. -15 rasional. Hanya -15/1. Tanda itu tidak mendiskualifikasinya.
2. Mengakhiri desimal
Ini adalah angka-angka yang berakhir. Hal itu tidak berlangsung selamanya.
Pikirkan tentang 1,575. Atau 0,24. Ini terlihat seperti desimal, tapi itu hanyalah pecahan yang menyamar. 0,24 sebenarnya adalah 24/100. Anda dapat menyederhanakannya menjadi 25/6. Karena 25 dan 6 adalah bilangan bulat, 0,24 adalah bilangan rasional.
Jika desimalnya berhenti, itu masuk akal. Selalu.
3. Mengulang desimal
Di sinilah orang menjadi bingung.
Ambil 1/3. Dalam bentuk desimal, 0,33333… Tidak pernah berakhir. Tapi itu berulang. Polanya jelas. Satu digit, berulang-ulang.
Karena berulang, itu rasional. Panjangnya yang tak terbatas tidak membuatnya takut keluar dari klub. Polanya menyimpannya.
“Suatu bilangan dengan desimal tak hingga tetap rasional jika mempunyai pola periodik.”
Mengapa pi tidak rasional (dan mengapa itu penting)
Mari kita lihat angka yang pasti Anda ketahui: pi (π ).
Kami biasanya menulisnya sebagai 3.14. Tapi itu bohong. Kebohongan yang berguna, tapi bohong.
Pi adalah 3.1415926535… dan terus berjalan. Angka-angka itu tidak pernah terulang. Tidak ada pola yang dapat Anda kunci. Anda tidak dapat menulis pi sebagai a / b menggunakan bilangan bulat.
Itu membuat pi tidak rasional.
Itu bukanlah suatu kesalahan. Ini adalah kategori yang berbeda. Saat Anda melihat desimal yang berlangsung selamanya tanpa berulang, jalankan. Itu tidak rasional.
Perbandingan cepat: Rasional vs Irasional
| Fitur | Bilangan Rasional (Q) | Bilangan Irasional |
|---|---|---|
| Bentuk pecahan | Dapat ditulis a / b | Tidak dapat ditulis sebagai a / b |
| Bentuk desimal | Mengakhiri ATAU mengulangi | Tidak pernah berakhir, tidak pernah terulang |
| Contoh | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, e |
Jadi bagaimana Anda memeriksanya?
- Dapatkah kamu menuliskannya sebagai pecahan? Ya -> Rasional.
- Apakah desimalnya berhenti? Ya -> Rasional.
- Apakah desimalnya berulang? Ya -> Rasional.
- Apakah ia melakukan keduanya? (Berhenti dan ulangi?) Tidak mungkin.
- Apakah hal tersebut berlangsung selamanya tanpa pola? -> Tidak rasional.
Ini bukan sihir. Itu hanya aturan.
Anda tidak memerlukan kalkulator untuk mengetahui apakah 0,123123… rasional. Ini berulang. Itu masuk.
Anda tidak memerlukan kalkulator untuk mengetahui apakah √2 rasional. Itu adalah bilangan irasional klasik. Desimalnya tidak pernah menetap.
Kebanyakan angka yang Anda temui dalam kehidupan sehari-hari adalah angka rasional. Harga, jarak, waktu, skor. Mereka bersih. Itu bisa ditebak.
Yang tidak rasional adalah yang outlier. Mereka ada. Mereka penting dalam matematika tingkat lanjut. Tapi untuk daftar belanjaan Anda? Tetap berpegang pada alasan rasional.
Bagaimana dengan akar kuadrat? Ada yang rasional (√4 = 2). Sebagian besar tidak (√2). Bagaimana cara membedakan yang mana? Itu masalah untuk kali berikutnya. Untuk saat ini, ingatlah: jika pembagiannya rapi atau berulang, Anda baik-baik saja.
Mengapa desimal berulang (dan mengapa beberapa tidak)
Anda sudah mengetahui dasar-dasarnya. Sekarang mari kita lihat bagian tengahnya yang berantakan. Bagian di mana siswa biasanya terjebak.
Bilangan rasional bukan hanya bilangan bulat utuh. Itu mudah. Pekerjaan sebenarnya terjadi ketika Anda membagi sesuatu.
Bilangan bulat (Z) adalah bilangan bulat bersih. Tidak ada desimal. Hanya 0, negatif, dan natural (N). Di dalam bilangan alami, Anda memiliki bilangan prima dan komposit. Sederhana.
Kemudian Anda mengenai pecahannya.
Inilah perpecahan yang perlu Anda hafal:
- Desimal tepat. Mereka berhenti. Seperti 0,5. Selesai.
- Desimal periodik. Mereka berputar selamanya.
Jika perulangan dimulai tepat setelah koma desimal, maka perulangannya murni periodik. Semuanya berulang.
Jika beberapa digit keluar sebelum perulangan dimulai, itu adalah berkala campuran. Polanya bergeser.
Pengenalan pola ini adalah kuncinya. Kalau terulang, itu wajar.
Perangkap kepadatan: apa yang ada di antara angka-angka?
Di sinilah intuisi gagal.
Pilih dua bilangan rasional mana pun. Katakan 1 dan 2.
Berapa banyak angka di antara keduanya?
Tak terbatas.
Ada bilangan rasional yang tak terhingga di sana. 1.2. 1.745. 1,00001. Anda selalu dapat memasukkan yang lain.
Tapi inilah yang menarik.
Ada juga angka-angka irasional tak terhingga yang bersembunyi di celah yang sama.
Ambil akar kuadrat dari 2. Kira-kira 1,41. Itu berada di antara 1 dan 2. Tapi itu tidak rasional. Ia memiliki desimal tak terbatas yang tidak pernah menjadi suatu pola. Kami bahkan tidak tahu semua angkanya. Mereka melanjutkan saja.
Jadi garis bilangannya ramai. Sangat ramai.
Operasi membuat Anda tetap aman (kebanyakan)
Lakukan matematika dasar dengan rasional dan Anda tetap rasional.
Tambahkan dua pecahan? Rasional. Mengurangi? Rasional. Berkembang biak? Rasional. Membagi? Rasional (selama tidak membaginya dengan nol).
Sistemnya tertutup. Itu melindungi dirinya sendiri.
Tapi ambillah akarnya.
Terapkan akar kuadrat atau akar pangkat tiga ke bilangan rasional dan pintunya terbuka.
Anda mungkin mendapatkan hasil yang rasional. Atau Anda mungkin mendapatkan jawaban yang tidak rasional. Ini adalah pertaruhan.
Menemukan perbedaan: pola vs. kekacauan
Bagaimana cara membedakannya?
Bilangan irasional tidak dapat ditulis sebagai pecahan sederhana dari dua bilangan bulat a dan b.
Merekalah para pemberontak.
Bagian desimalnya tidak ada habisnya. Namun yang terpenting, hal tersebut tidak terulang kembali. Tidak ada pola. Tidak ada putaran. Hanya kekacauan.
Bilangan rasional dengan desimal tak terhingga mempunyai rahasia.
Mereka memiliki periodisitas.
Carilah pengulangannya.
Jika Anda melihat sebuah angka atau sekelompok angka yang berputar terus menerus, itu adalah hal yang rasional. Polanya adalah buktinya.
Jika angka-angka tersebut berkeliaran tanpa tujuan tanpa mengulangi urutan yang sama, itu tidak rasional.
Garis digambar oleh polanya.
Temukan lingkarannya. Anda menemukan alasan yang rasional.
