Podziel 30 przez 15. Otrzymasz 2. To proste. Ta liczba 2 jest racjonalna. 0,333… (z kropką) jest również racjonalne. -4 jest również racjonalne.
A co z pi? Nie. Pi – „niezręczne”. Trwa to w nieskończoność, bez powtórzeń. To czyni go irracjonalnym.
Oznaczenie zbioru liczb wymiernych to Q. Jeśli widzisz liczbę, którą można zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych (o ile mianownik nie jest równy zero), należy ona do Q.
To jest ważniejsze niż myślisz. Używasz tych liczb do odmierzania składników, dzielenia rachunków i obliczania prędkości. Stanowią podstawę podstawowej matematyki, fizyki i chemii. Jeśli możesz zapisać liczbę jako a / b, jest ona wymierna. Jeśli nie, jest to irracjonalne.
Oto jak je rozróżnić bez wyrywania włosów na głowie.
Jak rozpoznać liczbę wymierną według trzech typów
Nie wszystkie liczby wymierne wyglądają tak samo. Niektóre są nienaruszone. Dla niektórych ułamki dziesiętne są skończone. Dla niektórych powtarzają się w nieskończoność. Wszystkie trzy typy są odpowiednie.
1. Liczby całkowite
Tak, liczby całkowite są liczbami wymiernymi. Każdy bez wyjątku.
Weźmy 5. Wygląda po prostu jak „5”. Ale możesz zapisać to jako 100/20. Możesz zapisać to jako 10/2. Możesz zapisać to jako 5/1. Dopóki możesz wyrazić to jako stosunek dwóch liczb całkowitych, spełnia to definicję.
Liczby ujemne też działają. -15 to liczba wymierna. To po prostu -15/1. Znak nie pozbawia go tego statusu.
2. Końcowe ułamki dziesiętne
To są liczby, które się kończą. Nie trwają wiecznie.
Pamiętaj 1,575. Lub 0,24. Wyglądają jak ułamki dziesiętne, ale to tylko ułamki zwykłe w kamuflażu. 0,24 to tak naprawdę 24/100. Możesz go zmniejszyć do 6/25. Ponieważ 25 i 6 są liczbami całkowitymi, 0,24 jest liczbą wymierną.
Jeśli ułamek dziesiętny się kończy, jest to liczba wymierna. Zawsze.
3. Nieskończone okresowe ułamki dziesiętne
W tym miejscu ludzie często się mylą.
Weźmy 1/3. W formie dziesiętnej jest to 0,33333… To nigdy się nie kończy. Ale to się powtarza. Wzór jest jasny. Jeden numer, w kółko.
Ponieważ się powtarza, jest racjonalne. Nieskończona długość nie wypędza jej z klubu. Wzór ją ratuje.
„Liczba z nieskończoną liczbą miejsc po przecinku pozostaje wymierna, dopóki ma wzór okresowy.”
Dlaczego liczba pi nie jest racjonalna (i dlaczego ma znaczenie)
Weź pod uwagę liczbę, którą znasz na pewno: pi (π ).
Zwykle zapisujemy to jako 3,14. Ale to kłamstwo. Pożyteczne kłamstwo, ale kłamstwo.
Pi równa się 3,1415926535… i dalej. Numery nigdy się nie powtarzają. Nie ma wzoru, do którego można by się przyczepić. Nie można zapisać liczby pi jako a / b przy użyciu liczb całkowitych.
To sprawia, że pi jest irracjonalne.
To nie jest błąd. To jest inna kategoria. Kiedy zobaczysz ułamek dziesiętny, który ciągnie się w nieskończoność bez powtarzania, uruchom. To liczba niewymierna.
Szybkie porównanie: racjonalne i irracjonalne
| Charakterystyka | Liczby wymierne (Q) | Liczby niewymierne |
|---|---|---|
| Rodzaj frakcji | Można zapisać jako a / b | Nie można zapisać jako a / b |
| Dziesiętne | Skończony LUB okresowy | Nigdy się nie kończy, nigdy się nie powtarza |
| Przykłady | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, mi |
Jak więc sprawdzić?
- Czy można to zapisać w postaci ułamka zwykłego? Tak -> Racjonalne.
- Czy kończy się przecinek? Tak -> Racjonalne.
- Czy ułamek dziesiętny się powtarza? Tak -> Racjonalne.
- Czy spełnia jedno i drugie? (Kończy się i powtarza?) Niemożliwe.
- Czy trwa to w nieskończoność bez wzoru? -> Irracjonalne.
To nie magia. To są tylko zasady.
Nie potrzebujesz kalkulatora, żeby wiedzieć, czy 0,123123… jest wymierne. To się powtarza. Pasuje.
Nie potrzebujesz kalkulatora, żeby wiedzieć, czy √2 jest wymierne. To klasyczna liczba niewymierna. Jego dziesiętny nigdy się nie stabilizuje.
Większość liczb, które spotykasz w życiu codziennym, jest wymierna. Ceny, dystanse, czasy, punkty. Są „czyści”. Są przewidywalne.
Liczby niewymierne są słabsze. Istnieją. Są ważne w wyższej matematyce. Ale dla twojej listy zakupów? Ogranicz się do racjonalnych.
A co z pierwiastkami kwadratowymi? Niektóre z nich są racjonalne (√4 = 2). Większość nie (√2). Jak odróżnić jedno od drugiego? To problem na następny raz. Na razie pamiętaj: jeśli liczba jest podzielna przez liczbę całkowitą lub ma kropkę, wszystko jest w porządku.
Dlaczego ułamki dziesiętne się powtarzają (i dlaczego niektóre nie)
Podstawy już znasz. Przyjrzyjmy się teraz mylącemu środkowi. Część, w której uczniowie zwykle utkną.
Liczby wymierne to nie tylko liczby całkowite. To proste. Prawdziwa praca zaczyna się, gdy zaczynasz dzielić.
Liczby całkowite (Z) są „czyste”. Żadnych miejsc po przecinku. Tylko 0, liczby ujemne i naturalne (N). W liczbach naturalnych wyróżniamy liczby pierwsze i złożone. Tylko.
Następnie natkniesz się na ułamki.
Oto podział, który warto zapamiętać:
- Ostateczne miejsca po przecinku. Kończą się. Na przykład 0,5. Wszystko.
- Okresowe ułamki dziesiętne. Zapętlają się w nieskończoność.
Jeśli cykl rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku dziesiętnym, jest to czysta okresowość. Całość się powtarza.
Jeśli przed początkiem cyklu pojawia się kilka cyfr, mamy do czynienia z okresem mieszanym. Wzór się zmienia.
Kluczem jest rozpoznanie tego wzorca. Jeśli się to powtarza, jest to racjonalne.
Pułapka gęstości: co jest pomiędzy liczbami?
Tu intuicja zawodzi.
Wybierz dowolne dwie liczby wymierne. Powiedzmy 1 i 2.
Ile liczb jest między nimi?
Nieskończona ilość.
Istnieje nieskończona liczba wymiernych liczb. 1.2. 1,745. 1,00001. Zawsze możesz wcisnąć jeszcze jednego.
Ale tu jest haczyk.
W tej samej szczelinie kryje się nieskończona liczba irracjonalnych liczb.
Weź pierwiastek kwadratowy z 2. To jest w przybliżeniu 1,41. Jest pomiędzy 1 a 2. Ale to nie jest racjonalne. Ma nieskończoną liczbę miejsc po przecinku, które nigdy nie pasują do wzorca. Nie znamy nawet wszystkich liczb. Po prostu idą dalej.
Zatem oś liczbowa jest przepełniona. Naprawdę tłoczno.
Transakcje zapewniają bezpieczeństwo (głównie)
Wykonuj podstawową matematykę z liczbami wymiernymi, a pozostaniesz w sferze wymiernych.
Dodać dwa ułamki? Racjonalny. Odejmować? Racjonalny. Zwielokrotniać? Racjonalny. Podzielisz to? Racjonalne (o ile nie dzielisz przez zero).
System jest zamknięty. Ona się chroni.
Ale weź korzeń.
Zastosuj pierwiastek kwadratowy lub sześcienny do liczby wymiernej, a drzwi się otworzą.
Możesz uzyskać racjonalny wynik. Albo możesz postępować irracjonalnie. To loteria.
Jak odróżnić: wzór a chaos
Jak je rozróżnić?
Liczb niewymiernych nie można zapisać jako ułamka prostego dwóch liczb całkowitych a i b.
Oni są buntownikami.
Ich części dziesiętne są nieskończone. Ale co ważne, nie powtarzają się. Brak wzoru. Brak cyklu. Tylko chaos.
Liczby wymierne z nieskończonymi miejscami po przecinku skrywają tajemnicę.
Mają okresowość.
Szukaj powtórzeń.
Jeśli widzisz liczbę lub grupę liczb, które zmieniają się w sposób ciągły, jest to liczba wymierna. Wzór jest dowodem.
Jeśli liczby wędrują bez celu, nigdy nie powtarzając tej samej sekwencji, jest to liczba niewymierna.
Granica jest rysowana zgodnie ze wzorem.
Znaleziono cykl – znaleziono liczbę wymierną.
