Vydělte 30 15. Dostanete 2. Je to jednoduché. Toto číslo 2 je racionální. 0,333… (s tečkou) je také racionální. -4 je také racionální.
A co pí? Ne. Pi – “nepříjemné.” Pokračuje donekonečna bez opakování. To ho činí iracionálním.
Zápis pro množinu racionálních čísel je Q. Pokud vidíte číslo, které lze zapsat jako zlomek dvou celých čísel (pokud jmenovatel není nula), patří do Q.
To je důležitější, než si myslíte. Tato čísla používáte k měření ingrediencí, rozdělování účtů a výpočtu rychlosti. Tvoří základ základů matematiky, fyziky a chemie. Pokud můžete napsat číslo jako a / b, je to racionální. Pokud ne, je to iracionální.
Zde je návod, jak je rozeznat, aniž byste si vytrhali vlasy na hlavě.
Jak rozpoznat racionální číslo podle tří typů
Ne všechna racionální čísla vypadají stejně. Některé jsou neporušené. Pro některé jsou desetinná místa konečná. U některých se opakují donekonečna. Všechny tři typy jsou vhodné.
1. Celá čísla
Ano, celá čísla jsou racionální čísla. Každý bez výjimky.
Vezměme 5. Vypadá to jako “5”. Ale můžete to napsat jako 100 / 20. Můžete to napsat jako 10 / 2. Můžete to napsat jako 5 / 1. Pokud to můžete vyjádřit jako poměr dvou celých čísel, splňuje to definici.
I záporná čísla fungují. -15 je racionální číslo. Je to prostě -15/1. Znamení ji o tento status nezbavuje.
2. Koncová desetinná místa
To jsou čísla, která končí. Nejdou věčně.
Zapamatujte si 1,575. Nebo 0,24. Vypadají jako desetinná místa, ale jsou to jen zlomky v kamufláži. 0,24 je ve skutečnosti 24/100. Můžete to snížit na 6/25. Protože 25 a 6 jsou celá čísla, 0,24 je racionální číslo.
Pokud desetinná čárka končí, je to racionální. Vždy.
3. Nekonečná periodická desetinná místa
To je místo, kde jsou lidé často zmateni.
Vezmeme 1/3. V desítkovém tvaru je to 0,33333… Nikdy to nekončí. Ale to se opakuje. Vzor je jasný. Jedno číslo, znovu a znovu.
Protože se to opakuje, je to racionální. Nekonečná délka ji z klubu nevyžene. Pattern ji zachrání.
“Číslo s nekonečným počtem desetinných míst zůstává racionální, pokud má periodický vzor.”
Proč pí není racionální (a proč na tom záleží)
Zvažte číslo, které jistě znáte: pí (π ).
Obvykle to zapisujeme jako 3.14. Ale to je lež. Užitečná lež, ale lež.
Pi se rovná 3,1415926535… a odtud pokračuje. Čísla se nikdy neopakují. Neexistuje žádný vzor, na který by se dalo zapadnout. Pi nelze psát jako a / b pomocí celých čísel.
Díky tomu je pi iracionální.
To není chyba. To je jiná kategorie. Když uvidíte desetinnou čárku, která trvá navždy bez opakování, běžte. Toto je iracionální číslo.
Rychlé srovnání: racionální vs. iracionální
| Vlastnosti | Racionální čísla (Q) | Iracionální čísla |
|---|---|---|
| Typ zlomku | Lze zapsat jako a / b | Nelze zapsat jako a / b |
| Desetinné | Konečné NEBO periodické | Nikdy nekončí, nikdy se neopakuje |
| Příklady | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, e |
Jak tedy zkontrolovat?
- Lze to napsat zlomkem? Ano -> Racionální.
- Končí desetinná čárka? Ano -> Racionální.
- Opakuje se desetinná čárka? Ano -> Racionální.
- Dělá obojí? (Končí a opakuje se?) Nemožné.
- Pokračuje donekonečna bez vzoru? -> Iracionální.
Není to magie. To jsou jen pravidla.
Nepotřebujete kalkulačku, abyste věděli, zda je 0,123123… racionální. Opakuje se to. To sedí.
K tomu, abyste věděli, zda je √2 racionální, nepotřebujete kalkulačku. Toto je klasické iracionální číslo. Jeho desetinná čárka se nikdy neusadí.
Většina čísel, se kterými se v každodenním životě setkáváte, je racionálních. Ceny, vzdálenosti, časy, body. Jsou “čisté”. Jsou předvídatelné.
Iracionální čísla jsou smolaři. Existují. Jsou důležité ve vyšší matematice. Ale pro váš nákupní seznam? Omezte se na ty racionální.
A co odmocniny? Některé z nich jsou racionální (√4 = 2). Většina není (√2). Jak rozlišit jedno od druhého? To je problém pro příště. Zatím si jen pamatujte: pokud je číslo dělitelné celým číslem nebo má tečku, jste v pořádku.
Proč se desetinná místa opakují (a proč některá ne)
Základy už znáte. Nyní se podíváme na matoucí střed. Část, kde se studenti obvykle zaseknou.
Racionální čísla nejsou jen celá čísla. Je to snadné. Skutečná práce začíná, když začnete rozdělovat.
Celá čísla (Z) jsou „čistá“. Žádná desetinná místa. Pouze 0, záporná a přirozená čísla (N). V přirozených číslech máte prvočísla a složená čísla. Jen.
Pak narazíte na zlomky.
Zde je rozdělení na zapamatování:
- Konečná desetinná místa. Docházejí jim. Například 0,5. Vše.
- Pravidelná desetinná místa. Donekonečna se smykají.
Pokud cyklus začíná bezprostředně za desetinnou čárkou, jedná se o čistou periodicitu. Celá věc se opakuje.
Pokud před začátkem cyklu přijde několik číslic, jedná se o smíšenou periodicitu. Vzor se posouvá.
Rozpoznání tohoto vzoru je klíčem. Pokud se to opakuje, je to racionální.
Past na hustotu: Co je mezi čísly?
Tady intuice selhává.
Vyberte libovolná dvě racionální čísla. Řekněme 1 a 2.
Kolik čísel je mezi nimi?
Nekonečné množství.
Existuje nekonečné množství racionálních čísel. 1.2. 1,745. 1,00001. Vždy můžete vmáčknout ještě jednu.
Ale tady je ten háček.
Ve stejné mezeře se skrývá nekonečné množství iracionálních čísel.
Vezměte druhou odmocninu ze 2. Je to přibližně 1,41. Je mezi 1 a 2. Ale není to racionální. Má nekonečný počet desetinných míst, která se nikdy nevejdou do vzoru. Ani neznáme všechna čísla. Prostě pokračují.
Číselná řada je tedy přeplněná. Opravdu přeplněné.
Transakce vás udrží v bezpečí (většinou)
Udělejte si základní matematiku s racionálními čísly a zůstanete v oblasti racionálních.
Sečíst dva zlomky? Racionální. Odčítat? Racionální. Násobit? Racionální. Rozdělíš si to? Racionální (pokud nebudete dělit nulou).
Systém je uzavřen. Chrání se.
Ale vezměte kořen.
Přiložte druhou mocninu nebo krychli na racionální číslo a dveře se otevřou.
Můžete získat racionální výsledek. Nebo můžete být iracionální. Je to loterie.
Jak poznat rozdíl: vzor vs. chaos
Jak je rozlišit?
Iracionální čísla nelze zapsat jako prostý zlomek dvou celých čísel a a b.
Jsou to rebelové.
Jejich desetinné části jsou nekonečné. Ale co je důležité, neopakují se. Žádný vzor. Žádný cyklus. Pouze chaos.
Racionální čísla s nekonečným počtem desetinných míst mají tajemství.
Mají periodicitu.
Hledejte opakování.
Pokud vidíte číslo nebo skupinu čísel, která se neustále cyklí, jedná se o racionální číslo. Vzor je toho důkazem.
Pokud se čísla bezcílně potulují a nikdy neopakují stejnou sekvenci, jde o iracionální číslo.
Hranice je nakreslena podle vzoru.
Nalezen cyklus – našel racionální číslo.
