Você divide 30 por 15. Você obtém 2. Bastante simples. Esse 2 é um número racional. O mesmo acontece com 0,333 se repetindo. O mesmo acontece com -4.
Mas pi? Não. Pi é bagunçado. Isso continua para sempre sem se repetir. Isso torna tudo irracional.
O símbolo para números racionais é Q. Se você vir um número que pode ser escrito como uma fração de dois inteiros (onde o número inferior não é zero), ele pertence a Q.
Isso é mais importante do que você pensa. Você usa esses números para medir ingredientes, dividir contas e calcular velocidade. Eles são a espinha dorsal da matemática, física e química básicas. Se você puder escrever como a / b, é racional. Se você não pode, é irracional.
Veja como saber a diferença sem arrancar os cabelos.
Como identificar um número racional em três tipos
Nem todos os números racionais parecem iguais. Alguns estão inteiros. Alguns têm decimais que param. Alguns repetem para sempre. Todos os três contam.
1. Números inteiros (inteiros)
Sim, os números inteiros são racionais. Cada um deles.
Pegue 5. Parece apenas “5”. Mas você pode escrevê-lo como 100/20. Você pode escrevê-lo como 10/2. Você pode escrevê-lo como 5/1. Contanto que você possa expressá-lo como uma proporção de dois números inteiros, ele se encaixa na definição.
Números negativos também funcionam. -15 é racional. É apenas -15/1. O sinal não o desqualifica.
2. Terminando decimais
Esses são os números que terminam. Eles não duram para sempre.
Pense em 1.575. Ou 0,24. Parecem números decimais, mas são apenas frações disfarçadas. 0,24 é realmente 24/100. Você pode simplificá-lo para 25/06. Como 25 e 6 são números inteiros, 0,24 é um número racional.
Se a vírgula parar, é racional. Sempre.
3. Repetição de decimais
É aqui que as pessoas ficam confusas.
Pegue 1/3. Na forma decimal, é 0,33333… Nunca acaba. Mas isso se repete. O padrão é claro. Um dígito, repetidamente.
Porque se repete, é racional. O comprimento infinito não assusta o clube. O padrão o salva.
“Um número com decimais infinitas ainda é racional se tiver um padrão periódico.”
Por que pi não é racional (e por que isso é importante)
Vejamos um número que você definitivamente conhece: pi (π ).
Geralmente escrevemos como 3.14. Mas isso é mentira. Uma mentira útil, mas uma mentira.
Pi é 3,1415926535… e continua. Os dígitos nunca se repetem. Não há nenhum padrão no qual você possa se fixar. Você não pode escrever pi como a / b usando números inteiros.
Isso torna pi irracional.
Não é um erro. É uma categoria diferente. Quando você vir um decimal que dura indefinidamente sem repetir, corra. É irracional.
Comparação rápida: Racional vs Irracional
| Recurso | Números Racionais (Q) | Números Irracionais |
|---|---|---|
| Forma de fração | Pode ser escrito como a / b | Não pode ser escrito como a / b |
| Forma decimal | Termina OU repete | Nunca termina, nunca se repete |
| Exemplos | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, e |
Então, como você verifica?
- Você consegue escrever como uma fração? Sim -> Racional.
- A vírgula para? Sim -> Racional.
- O decimal se repete? Sim -> Racional.
- Faz as duas coisas? (Pare e repita?) Impossível.
- Isso continua para sempre sem nenhum padrão? -> Irracional.
Não é mágica. São apenas regras.
Você não precisa de uma calculadora para saber se 0,123123… é racional. Isso se repete. Está dentro.
Você não precisa de uma calculadora para saber se √2 é racional. É um número irracional clássico. Seu decimal nunca é resolvido.
A maioria dos números que você encontra na vida diária são racionais. Preços, distâncias, tempo, pontuações. Eles estão limpos. Eles são previsíveis.
Os irracionais são os outliers. Eles existem. Eles são importantes em matemática avançada. Mas para sua lista de compras? Atenha-se aos racionais.
E quanto às raízes quadradas? Alguns são racionais (√4 = 2). A maioria não é (√2). Como você sabe qual é qual? Isso é um problema para a próxima vez. Por enquanto, lembre-se: se ele se dividir de forma limpa ou se repetir, você está bem.
Por que os decimais se repetem (e por que alguns não)
Você já conhece o básico. Agora vamos dar uma olhada no meio confuso. A parte em que os alunos geralmente ficam presos.
Os números racionais não são apenas números inteiros. Isso é fácil. O verdadeiro trabalho acontece quando você divide as coisas.
Inteiros (Z) são os limpos. Sem decimais. Apenas 0, negativos e naturais (N). Dentro dos naturais, você tem primos e compostos. Simples.
Então você acerta as frações.
Aqui está a divisão que você precisa memorizar:
- Decimais exatos. Eles param. Tipo 0,5. Feito.
- Decimais periódicos. Eles ficam em loop para sempre.
Se o loop começar logo após a vírgula decimal, ele será puro periódico. A coisa toda se repete.
Se alguns dígitos aparecerem antes do início do loop, ele será periódico misto. O padrão muda.
Este reconhecimento de padrões é a chave. Se se repetir, é racional.
A armadilha da densidade: o que fica entre os números?
É aqui que a intuição falha.
Escolha quaisquer dois números racionais. Diga 1 e 2.
Quantos números existem entre eles?
Infinito.
Existem infinitos números racionais aí. 1.2. 1.745. 1,00001. Você sempre pode espremer outro.
Mas aqui está o chute.
Existem também infinitos números irracionais escondidos nessa mesma lacuna.
Tire a raiz quadrada de 2. É aproximadamente 1,41. Situa-se entre 1 e 2. Mas não é racional. Possui decimais infinitos que nunca se estabelecem em um padrão. Nem conhecemos todos os dígitos. Eles simplesmente continuam.
Portanto, a reta numérica está lotada. Muito lotado.
As operações mantêm você seguro (principalmente)
Faça matemática básica com racionais e você permanecerá racional.
Adicionar duas frações? Racional. Subtrair? Racional. Multiplicar? Racional. Dividir? Racional (desde que você não divida por zero).
O sistema está fechado. Ele se protege.
Mas pegue a raiz.
Aplique uma raiz quadrada ou cúbica a um número racional e a porta se abrirá.
Você pode obter um resultado racional. Ou você pode obter um irracional. É uma aposta.
Descobrindo a diferença: padrão versus caos
Como você os diferencia?
Números irracionais não podem ser escritos como uma fração simples de dois inteiros a e b.
Eles são os rebeldes.
Suas partes decimais são infinitas. Mas o mais importante é que eles não se repetem. Nenhum padrão. Sem loop. Apenas caos.
Números racionais com decimais infinitos têm um segredo.
Eles têm periodicidade.
Procure a repetição.
Se você vir um dígito ou grupo de dígitos que circula continuamente, isso é racional. O padrão é a prova.
Se os dígitos vagarem sem rumo, sem nunca repetir a mesma sequência, isso é irracional.
A linha é desenhada pelo padrão.
Encontre o circuito. Você encontrou o racional.
