L’ordine si nasconde nel caos. È il compito principale della teoria di Ramsey.
Per novant’anni i matematici hanno cercato di trovarlo. Il progresso è stato glaciale.
Volevano sapere quando la casualità smette di funzionare. Quando la struttura diventa obbligatoria.
I soggetti? Grafici.
Non grafici con barre. Reti. Punti collegati da linee.
Pensa alle rotte aeree. Pensa alle amicizie. Pensa alle molecole.
Qualsiasi grafico abbastanza grande contiene due cose.
Una cricca. Un gruppo dove tutti conoscono tutti.
O un insieme indipendente. Un gruppo di persone che non conoscono nessuno.
R(3,10). Questa è la domanda. Quanto deve essere grande un social network per garantire tre amici in comune o dieci sconosciuti?
Non conosciamo la risposta.
Esistono esattamente meno di trenta numeri di Ramsey. Il resto sono misteri.
Quindi i matematici usano i limiti. Una trappola.
Immagina un tritarifiuti di Star Wars. 🤖
Il limite inferiore è un muro. Il limite superiore è l’altro.
Per decenni il divario è stato enorme.
Poi è apparso Domagoj Bradaä.
Lavora al Politecnico Federale Svizzero. Il mese scorso ha pubblicato una prova. Ha infranto una barriera.
Le pareti si spostarono. Vicine. Deliziosamente vicino.
Ecco come ha fatto.
“La geometria è qualcosa che comprendiamo molto meglio della teoria dei grafi.” —Marcello Campos
Bradaä non ha iniziato con il caos. Ha iniziato con la geometria.
Per prima cosa ha costruito un grafico gigante. Rigido. Algebrico. Strutturato.
Perché?
Perché la geometria ti dà proprietà gratuitamente.
Poi ha aggiunto il caos.
Ha tagliato a caso il suo grande grafico geometrico. Ne ho preso un pezzo. Rimossi alcuni nodi danneggiati.
Il risultato?
Grafici che sono diventati enormi. Ma schemi evitati.
Nessuna cricca. Nessun grande set indipendente.
Resisto a malapena.
Il miglior limite superiore? Bloccato dagli anni ’30. Bradaä l’ha quasi toccato.
“In un mondo ideale direi semplicemente: ecco il grafico. Avresti finito.” — Domagoj Bradaâ
Peccato che il mondo non sia l’ideale.
Ha dimostrato che potrebbero esistere. Non gliene diede uno. Questo è il metodo probabilistico. Inventato da Paul Erdäs. Dimostrare l’esistenza per caso.
La prova di Brada era buona. Ma non era la fine.
Inserisci l’IA.
OpenAI ha visto il foglio. Alimentalo con il loro modello di ragionamento.
L’intelligenza artificiale ha trovato una modifica.
Non un sostituto. Un’affilatura.
Ha eliminato quel pezzetto di incertezza rimasto nei confini di Bradaâ.
Ora i limiti inferiore e superiore corrispondono ai gap polilogaritmici.
Fondamentalmente niente.
Il gioco è finito?
Non proprio.
“Non cerchiamo sistematicamente di sistemare i documenti di arXiv. Siamo solo stati fortunati.” — Mehtaab Sawhney (OpenAI)
L’intelligenza artificiale non ha risolto tutto. Ha rafforzato le viti sul lavoro di Brada.
Marcelo Campos ama ricordarci chi ha svolto il lavoro pesante. Il concetto è venuto dall’umano. L’intelligenza artificiale ha appena pulito i bordi.
Ancora.
Un’intelligenza artificiale ha migliorato un problema di matematica vecchio di un secolo. Entro poche settimane.
Chi lo sapeva?
Siamo proprio accanto alla verità dei numeri di Ramsey.
Il divario è sottile. Come il ghiaccio in aprile.
Salici sopra e vedi cosa si rompe.
