Waarschijnlijkheid is niet zomaar een wiskundeterm die in schoolboeken ligt begraven. Het is een variabele die precies meet hoe zeker je kunt zijn dat een gebeurtenis zal plaatsvinden. Zie het als een verhouding. U neemt het aantal gevallen dat gunstig is voor uw uitkomst en deelt dit door het totale aantal mogelijke gevallen. Die noemer omvat alle mogelijke mogelijkheden, gunstig of niet.
Het resultaat komt meestal binnen een specifiek bereik terecht. Meestal ziet u de waarschijnlijkheid uitgedrukt als een waarde tussen 0 en 1. Een score van 0,5 betekent een gelijke verdeling. Een score van 0,328 is specifieker en duidt op een lagere kans. Mogelijk ziet u dit ook omgezet in een percentage. 70% en 41,5% zijn slechts verschillende manieren om hetzelfde over waarschijnlijkheid te zeggen. Soms werken mensen echter liever met specifieke cijfers. Het berekenen van de waarschijnlijkheid over tien, duizend of een miljoen gevallen kan het abstracte een concreter gevoel geven.
Een andere veelgebruikte manier om waarschijnlijkheid te zien is als een breuk. Het bovenste getal, of de teller, vertegenwoordigt de gunstige gevallen. Het onderste getal, of de noemer, omvat alle mogelijke uitkomsten. Deze structuur maakt het gemakkelijk om de kansen te visualiseren.
Waarschijnlijkheid is de relatie tussen gunstige gevallen en het totale aantal mogelijke gevallen, inclusief de gevallen die niet in uw voordeel werken.
Dit raamwerk is van toepassing op alles, van het opgooien van een munt tot het voorspellen van weerpatronen. Als u de basismechanismen begrijpt, kunt u de ruis doorbreken. Je stopt met raden en begint met rekenen.
De basisprincipes van waarschijnlijkheid begrijpen: van dobbelstenen tot het dagelijks leven
Denk eens aan de kans dat je een specifieke combinatie gooit met twee standaard zeszijdige dobbelstenen. Je hebt een 1 en een 4 nodig. De wiskunde zegt dat er maar één manier is waarop dit specifieke paar kan gebeuren uit een totaal van 36 mogelijkheden. Dat is een waarschijnlijkheid van ongeveer 2,78%. Vergelijk dat eens met het gooien van een enkele dobbelsteen en het krijgen van een 1. De kans springt naar 1 op 6, oftewel ongeveer 16,7%. Eenvoudig.
Waarschijnlijkheid raakt haar uiterste punt aan de grenzen. Een waarschijnlijkheid van 0 betekent dat iets niet kan gebeuren. Een kans van 1 betekent dat het altijd gebeurt. Denk aan een bloembed met blauwe, rode en witte bloemen. Een gele bloem eruit trekken is onmogelijk omdat er geen bestaat. De kans is 0. Als elke bloem in dat bed geel zou zijn, garandeert het uittrekken van één bloem een geel resultaat. De waarschijnlijkheid wordt 1.
Dit concept bevindt zich op het snijvlak van wiskunde en statistiek, met name voor het bestuderen van willekeurige verschijnselen. Het geldt niet alleen voor klaslokalen. Economen gebruiken het voor markttrends. Artsen gebruiken het om de effectiviteit van medicijnen te meten. Natuurkundigen vertrouwen erop voor het gedrag van deeltjes. Psychologen passen het toe op gedragspatronen. Het is het instrument dat we gebruiken om zekerheid te meten. We gebruiken het om risico’s bij zakelijke beslissingen te beoordelen. We gebruiken het om weersvoorspellingen te voorspellen.
Het idee ontstond niet zomaar. Het ontstond in 1654 uit de correspondentie tussen wiskundigen Pierre de Fermat en Blaise Pascal. Ze legden de basis voor het analyseren van het toeval. Later breidden figuren als Sebastián de Rocafull, Jakob Bernoulli en Abraham de Moivre deze fundamenten uit. Ze definieerden de methoden voor het berekenen van deze kansen rigoureus.
Hoe u de waarschijnlijkheid kunt berekenen met behulp van de regel van Laplace
De meest gebruikelijke methode is de regel van Laplace. Het berust op een eenvoudige formule:
$$P = \frac{X}{N}$$
Hier vertegenwoordigt P de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. X is het aantal gunstige uitkomsten. N is het totale aantal mogelijke uitkomsten.
Laten we dit toepassen op een enkele zeszijdige dobbelsteen. Je wilt weten hoe groot de kans is dat je een 2 of een 3 gooit. De dobbelsteen heeft zes gezichten, dus N = 6. Uw streefgetallen zijn 2 en 3. Dat zijn twee gunstige uitkomsten, dus X = 2.
Voer deze in de vergelijking in:
$$P = \frac{2}{6} \circa 0,3333$$
Deze decimale waarde ligt tussen 0 en 1. Om het intuïtiever te maken, converteert u het naar een percentage. Vermenigvuldig met 100.
$$0,3333 \maal 100 = 33,33\%$$
Je hebt dus een kans van 33,33% om een 2 of een 3 te gooien.
Maar wat als je wilt weten hoe groot de kans is dat je geen een 2 of een 3 krijgt? Er is een specifieke formule voor de complementgebeurtenis:
$$P(Y) = 1 – P(X)$$
P(Y) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis niet plaatsvindt. P(X) is de waarschijnlijkheid dat dit het geval is. Gebruikmakend van ons vorige voorbeeld:
$$P(Y) = 1 – 0,3333 = 0,6666$$
Converteer naar een percentage en je krijgt een kans van 66,66% dat noch een 2, noch een 3 verschijnt. Dit is logisch. Als één uitkomst een kans van 33% heeft, moet het alternatief de resterende ruimte bestrijken.
Geavanceerde methoden: gezamenlijke en voorwaardelijke waarschijnlijkheid
De regel van Laplace is wat wij klassieke of eenvoudige waarschijnlijkheid noemen. Er wordt van uitgegaan dat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Het echte leven is rommeliger. Soms moet u gezamenlijke waarschijnlijkheid berekenen.
Gezamenlijke waarschijnlijkheid vraagt: wat is de kans dat twee afzonderlijke gebeurtenissen tegelijkertijd plaatsvinden? De formule is:
$$P(X \cap Y) = P(X) \maal P(Y)$$
Neem een standaard kaartspel. Wat is de kans dat je een diamant EN het getal 3 trekt?
De kans op een diamant is 1 op 4, oftewel 0,25.
De waarschijnlijkheid van een specifiek getal (zoals een 3) is 1 op 13.
Vermenigvuldig ze:
$$0,25 \times \frac{1}{13} \circa 0,01923$$
Dat is een kans van 1,923%. Zeldzaam, maar berekenbaar.
Dan is er voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Dit is anders. Hier berekenen we de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, gegeven het feit dat er al een andere gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De formule wordt aangepast aan de nieuwe, kleinere monsterruimte:
$$P(X | Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$
Stel je een groep vrienden voor. 55% houdt van horrorfilms. 20% houdt van zowel horror- als sciencefictionfilms. Je kiest willekeurig iemand die van horror houdt. Hoe groot is de kans dat zij ook van sciencefiction houden?
Je neemt de gezamenlijke waarschijnlijkheid (20%) en deelt deze door de waarschijnlijkheid van de aandoening (55%):
$$\frac{20}{55} \circa 0,3636$$
Omgerekend naar een percentage is dat een kans van 36,36%. De pool van potentiële kandidaten kromp gewoon van ‘iedereen’ naar ‘alleen horrorfans’.
Deze berekeningen zijn niet alleen abstracte oefeningen. Ze dicteren hoe we gegevens in de geneeskunde interpreteren, hoe we verzekeringen prijzen en hoe we de willekeur van de wereld begrijpen. De wiskunde is rigide. De toepassing is overal.
Hoe de waarschijnlijkheid te berekenen: 3 voorbeelden uit de praktijk
Waarschijnlijkheid is niet alleen maar abstracte wiskunde. Het is een hulpmiddel om de kansen in het echte leven te bepalen. Je gebruikt het bij het raden van spelresultaten. Je gebruikt het bij het analyseren van weerpatronen. Als u de mechanismen achter de cijfers begrijpt, kunt u betere beslissingen nemen. Laten we drie veelvoorkomende scenario’s opsplitsen om te zien hoe de wiskunde daadwerkelijk werkt.
Het scenario met één gok
Stel je voor dat twee aanvoerders van een voetbalteam proberen hun selectie te kiezen. Ze hebben een eerlijke manier nodig om te beslissen wie als eerste kiest. De ene kapitein vraagt een neutrale partij om een getal tussen 1 en 10 te bedenken. De andere kapitein moet dat getal in één keer raden. Wat zijn de kansen?
De wiskunde is hier eenvoudig. Er zijn tien mogelijke uitkomsten. De neutrale partij kiest er precies één. Daarom is er slechts één gunstige uitkomst.
Met behulp van de basiswaarschijnlijkheidsformule:
P = 1 / 10 = 0,1
Dit komt neer op 10%. De eerste kapitein heeft een kleine kans om het meteen goed te doen.
Maar de waarschijnlijkheid verandert naarmate het spel vordert. Stel dat de kapiteins het vijf keer fout hebben. Ze elimineren vijf nummers uit de pool. Nu zijn er nog maar vier getallen mogelijk. De neutrale partij heeft nog steeds slechts één nummer.
De nieuwe berekening verandert het landschap:
P = 1 / 4 = 0,25 → 25%
De kansen verdubbelden simpelweg omdat de mogelijkheden kleiner werden. Dit illustreert een sleutelconcept: waarschijnlijkheid is dynamisch. Het wordt bijgewerkt op basis van nieuwe informatie.
Onafhankelijke evenementen combineren
Overweeg nu een grotere schaal. Een loterij trekt één winnaar uit een groep van 25 personen. De prijzen omvatten een horloge, een ketting, een fles wijn en een mobiele telefoon. Elke prijs is even waarschijnlijk. Wat is de specifieke kans dat één persoon wint en de wijn krijgt?
Dit vereist dat we kijken naar twee afzonderlijke gebeurtenissen die samen plaatsvinden. Ten eerste moet jij de winnaar zijn. De kans om geselecteerd te worden uit 25 mensen is 1 op 25. Ten tweede moet je, aangezien je gewonnen hebt, de specifieke prijs ontvangen. Er zijn vier prijzen. De kans dat je de wijn krijgt is 1 op 4.
We gebruiken de formule voor gezamenlijke waarschijnlijkheid om het snijpunt van deze gebeurtenissen te vinden:
P(X ∩ Y) = (1 / 25) x (1 / 4)
P = 0,04 x 0,25 = 0,01
Het resultaat is 1%. Het komt zelden voor dat een specifiek resultaat uit een specifieke pool komt. Je moet de kansen van elke stap vermenigvuldigen om de werkelijke waarschijnlijkheid te zien.
Conditionele waarschijnlijkheid begrijpen
Weergegevens bieden nog een praktische toepassing. Kijk naar de aprilvoorspelling van een specifieke stad. Deze maand regende het op 14 van de 30 dagen. Van die regenachtige dagen hadden er 5 ook een storm. De vraag is niet: “Hoe groot is de kans op regen?” maar eerder “wat is de kans op een storm, aangezien het regent?”
Dit is voorwaardelijke waarschijnlijkheid. We beperken onze monsterruimte tot alleen de dagen dat het regende. We negeren de 16 niet-regenachtige dagen. Voor deze specifieke vraag doen ze er niet toe.
Laten we eerst eens kijken naar de ruwe percentages voor de context. Regen viel 46,7% van de tijd (14/30). Stormen kwamen 16,7% van de tijd voor (5/30). Maar we hebben niet de hele maand nodig om de vraag te beantwoorden. We hebben de verhouding van stormen binnen de regenachtige dagen nodig.
De formule gebruikt de waarschijnlijkheid van beide gebeurtenissen (storm EN regen) gedeeld door de waarschijnlijkheid van de omstandigheid (regen):
P(Storm | Regen) = P(Storm en regen) / P(Regen)
Omdat de ‘storm- en regen’-dagen een subset zijn van de ‘regen’-dagen, kunnen we dit vereenvoudigen tot het tellen van dagen:
P = 5 / 14 ≈ 0,358
Of 35,8%.
Dit betekent dat als je uit het raam kijkt en regen ziet, er ongeveer een kans van één op drie is dat er een storm mee gepaard gaat. De waarschijnlijkheid is veel groter dan wanneer je alleen maar naar de weersgegevens van de hele maand zou kijken.
Waarom deze verschillen ertoe doen
Weten welke formule je moet toepassen, voorkomt rekenfouten. Als je afhankelijke gebeurtenissen als onafhankelijk beschouwt
