Je hebt ze waarschijnlijk wel eens op whiteboards in de klas gekrabbeld of in algebraboeken zien staan. Ze zien eruit als een chaotische mix van letters en cijfers, maar zijn eigenlijk behoorlijk gestructureerd. Dit zijn kwadratische vergelijkingen. Meer specifiek zijn het tweedegraadsvergelijkingen omdat de hoogste macht die aan de variabele x is gekoppeld, 2 is.
Als je ze wilt oplossen, moet je eerst hun vorm herkennen.
Het standaardformulier
Elke kwadratische vergelijking past in een specifiek sjabloon. Het ziet er zo uit:
ax² + bx + c = 0
Dit is niet zomaar een willekeurige syntaxis. Elk onderdeel heeft een taak. Als u de drie verschillende termen kunt identificeren, kunt u beginnen met het begrijpen van de wiskunde.
De drie belangrijkste componenten
Om de vergelijking te begrijpen, moet je hem opsplitsen. Het is niet één groot blok gegevens. Het zijn drie afzonderlijke entiteiten die samenwerken.
1. De kwadratische term: ax²
Dit is de motor van de vergelijking. Het dankt zijn naam aan het feit dat x tot de tweede macht wordt verheven.
- x² vertegenwoordigt de variabele in het kwadraat.
- a is de coëfficiënt. Het is het nummer dat vlak voor x² staat.
Deze term bepaalt de vorm van de parabool wanneer u deze in een grafiek zet. Het is ook wat de vergelijking ‘tweede graad’ maakt. Zonder deze kwadratische term heb je alleen maar te maken met een lineaire vergelijking, wat een heel ander verhaal is.
2. De lineaire term: bx
Vervolgens komt het middelste kind. Het is eenvoudiger dan de eerste term, maar nog steeds essentieel.
- x is de variabele tot de eerste macht.
- b is de coëfficiënt die het vermenigvuldigt.
Deze term verschuift de curve. Het voegt een lineaire helling toe aan de kwadratische curve. In de context van het oplossen van x werkt het samen met de kwadratische term om de complexiteit te creëren waarvoor de kwadratische formule of factoring nodig is om op te lossen.
3. De onafhankelijke termijn: c
Ten slotte is er de constante. Het staat op zichzelf.
- c is slechts een getal. Er is geen variabele aan gekoppeld.
Het verplaatst de hele grafiek omhoog of omlaag op het coördinatenvlak. Het heeft geen invloed op de vorm of breedte van de parabool, alleen op de verticale positie. Bij het oplossen bepaalt dit getal vaak of er überhaupt echte oplossingen bestaan.
Waarom deze structuur ertoe doet
Als u de onderdelen kent, kunt u zich voorbereiden op de volgende stap: het oplossen van x.
Je kunt niet zomaar je weg raden door ax² + bx + c = 0. U moet weten welk nummer a is, wat b is en welk nummer c is.
Als u a ten onrechte identificeert als b, mislukken uw berekeningen. De kwadratische formule is afhankelijk van deze specifieke plaatsingen. Het ziet er zo uit:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Zie je hoe die letters in verschillende rollen verschijnen? De formule gebruikt de coëfficiënt a tweemaal, b tweemaal en c eenmaal. Als de structuur aan het begin verkeerd is, betekent dit dat het antwoord aan het eind verkeerd is.
Begin met het isoleren van de termen. Controleer de exponent. Is er een kwadraat x? Zo ja, dan heb je te maken met een kwadratische vergelijking
Als een economie de tweede graad bereikt, kan de efficiëntie een niet meer werken. Simpel gezegd, als a het is, is de variabele desaparece. De coëfficiënten b en c zijn numeros reales.
Als de drie uiteinden worden gepresenteerd, vertegenwoordigt de afbeelding een parábole in het plano-kaarten.
De importrichting.
Als a de burgemeester is, zal de parábool naar de arriba gaan.
Als a es menor que cero, se abre hacia abajo.
¿Cuántas soluciones tiene?
Puede tener dos reales reales.
A veces, solo una.
O ninguna.
Dit is de directe methode om in te grijpen.
Gebruik de Bhaskara-formule
Een oplossing voor het oplossen van problemen is snel met behulp van de algemene formule, conocida comunmente como formule van Bhaskara.
Dit is een eenvoudige berekening van de variabele x.
De formule is zo:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
De letters vertegenwoordigen de coëfficiënten van de rekeneenheid: ax² + bx + c = 0.
Alleen de waarde van a, b en c is nodig. De rest is een basisrekenkundige basis voor het beantwoorden van de oplossingen.
Het is een concreet voorbeeld.
Tenemos la ecuación:
x² + 3x – 4 = 0
Aquí:
een = 1
b = 3
c = -4
Toepassing van de formule:
- Calculamos el discriminante (verás por qué en un momento).
- Sustituimos en het principe van de formule.
De oplossing is zoon x1 = 1 y x2 = -4.
Het is een man die, rekening houdend met het voltooien van de procedure, veel meer tijd zal besteden. De Bhaskara-formule is een standaard.
Het onderscheid: uw oplossingsindicatie
Voordat u dit oplost, kunt u een tip van de sluier oplichten als u het discriminerende (Δ) krijgt.
Dit is de moed van de raíz cuadrada:
Δ = b² – 4ac
Het signaal van Δ te dobbelstenen over de ecuación:
- Δ > 0: Deze oplossingen zijn echt verschillend.
- Δ = 0: Er zijn echte oplossingen (een dubbele oplossing).
- Δ < 0: Geen echte hooioplossingen. Solo hooi-oplossingen complejas conjugadas.
Volviendo al ejemplo anterior (x² + 3x – 4 = 0 ):
Δ = (3)² – 4(1)(-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
Como 25 is de burgemeester die bevestigt dat deze oplossingen echt verschillend zijn. Als u meer zonden oplost, wordt het uiteindelijke resultaat bereikt.
Tips voor het uitvoeren van de volgende fase
Geen enkele van de tien aansluitingen (ax², bx, c ). Wanneer u een fout maakt, worden de instructies op deze manier geclassificeerd.
- Ecuación completa: Tiene los tres términos (ax² + bx + c = 0 ).
- Sin término independiente: Falta c (ax² + bx = 0 ).
- Sin término lineair: Falta b (ax² + c = 0 ).
Gebruikt u Bhaskara siempre?
U kunt de algemene formule gebruiken voor deze tips. Functie.
Pero para los casos segundo and tercero, hooimethode is steeds sneller. Houd er rekening mee dat x meer direct op de meter in de grote formule staat. Omdat er een embargo is, kan de algemene formule een rode bescherming bieden zonder factorisatie.
De sleutel is een identificatie van de eerste structuur. Luego maakt de herramienta efficiënter.
Kwadratische vergelijkingen beheersen: volledige, ontbrekende termen en voorbeelden uit de praktijk
Het oplossen van een kwadratische vergelijking gaat niet alleen over het inpluggen van getallen in een zwarte doos. Het gaat erom eerst de structuur van het probleem te herkennen. De standaardvorm is ax ² + bx + c = 0. Maar niet alle vergelijkingen zien er hetzelfde uit. Soms verdwijnen termen. Dit verandert de strategie volledig. Als je voor elk afzonderlijk probleem de algemene formule probeert te gebruiken, verspil je tijd. Je moet weten met welk type je te maken hebt.
Een volledige kwadratische vergelijking oplossen
Een volledige kwadratische vergelijking is het standaardgeval. Hier zijn b en c niet nul. Dat betekent dat je alle drie de componenten hebt: de kwadratische term (ax ²), de lineaire term (bx ) en de constante (c ).
Je favoriete hulpmiddel is de kwadratische formule. Het werkt elke keer.
x = (-b ± √(b ² – 4ac )) / 2a
In sommige specifieke gevallen kunt u een patroon ontdekken dat factorisatie mogelijk maakt. Of misschien voelt het vierkant voltooien intuïtiever voor de cijfers die voorhanden zijn. Maar bij twijfel is de formule uw vangnet. Het garandeert een oplossing, reëel of complex.
Kwadratische vergelijkingen oplossen zonder een constante term
Zoek nu naar snelkoppelingen. Als je vergelijking er uitziet als ax ² + bx = 0, heb je een onvolledige kwadratische vergelijking zonder een onafhankelijke term. Hier is c = 0.
Grijp niet naar de algemene formule. Het is overdreven. Gebruik in plaats daarvan gemeenschappelijke factorextractie.
- Ontbind x : x (ax + b ) = 0.
- Stel elke factor in op nul.
Dit onthult een simpele waarheid: nul is altijd één wortel. De tweede wortel komt van het oplossen van ax + b = 0. Je deelt gewoon – b door a.
Laten we eens naar een concreet voorbeeld kijken. Stel dat je 3x² + 6x = 0 hebt.
Factor 3x :
3x (x + 2) = 0
Dit geeft je twee paden:
* 3x = 0 → x = 0
* x + 2 = 0 → x = -2
De wortels zijn dus x₁ = 0 en x₂ = -2. Zie je hoeveel sneller dat was? Geen vierkantswortels nodig.
Kwadratische vergelijkingen aanpakken zonder lineaire term
Wat als de lineaire term in plaats daarvan ontbreekt? De vergelijking heeft de vorm ax² + c = 0. Hier is b = 0.
Dit is een eenvoudig isolatieprobleem. U heeft geen complexe factoring nodig. Je hebt alleen algebraïsche discipline nodig.
- Verplaats c naar de andere kant: ax ² = – c.
- Delen door a : x ² = – c / a.
- Neem de wortel: x = ±√(- c / a ).
Hier moet u pauzeren. Het resultaat binnen de vierkantswortel bepaalt de aard van uw antwoord. Als – c / a positief is, krijg je twee echte oplossingen. Als het negatief is, stap je in complexe getallen.
Neem 5x² – 8 = 0.
- 5x² = 8
- x² = 8 / 5
- x² = 1,6
- x = ±√1,6
Als je dat uitrekent, krijg je:
x₁ ≈ 1,265
x₂ ≈ -1,265
Het is nauwkeurig. Het is schoon. En het vermijdt de rommelige rekenkunde van de volledige kwadratische formule.
Uitgewerkte voorbeelden: in de praktijk brengen
Theorie is goed. Toepassing is beter. Laten we drie verschillende scenario’s doornemen om de methodologie vast te leggen.
Voorbeeld 1: De standaardbehuizing
Vergelijking: -2x² + 7x + 4 = 0
Hier geldt a = -2, b = 7, c = 4. We gebruiken de algemene formule.
x = (-7 ± √
