Математик, який доказав, чому ви постійно стикаєтеся з людьми, яких уникаєте
Більше століття тому математик Джордж Полі зіткнувся з незручною соціальною ситуацією. Прогулюючись лісом недалеко від Цюріха, він неодноразово зустрічав одного й того студента і його наречену, що здавалося йому незручним збігом. Прагнучи зрозуміти, чому це відбувається знову і знову, Полі звернувся до математики, щоб уникнути цих зустрічей, а щоб довести, чи неминучі такі повторні зіткнення.
Його робота розкрила фундаментальну істину про випадковий рух і розмірність: випадкові блукання поводяться по-різному у двох і трьох вимірах. По суті, випадковий блукаючий – теоретична сутність, що рухається випадковим чином – неминуче повернеться у вихідну точку на плоскій поверхні (наприклад, на лісовій підстилці), але може назавжди загубитися в тривимірному просторі (наприклад, на дитячому майданчику).
Доказ незручних зустрічей
Початкове питання Полі було простим: якщо хтось блукає випадковим чином, яка ймовірність повернутися додому? Він узагальнив це, розглянувши одного блукаючого на нескінченній сітці, що рухається у випадкових напрямках. Відповідь: випадковий блукаючий повернеться. Це також означає, що два блукаючі, що стартували в одній точці, гарантовано зустрінуться нескінченне число разів на плоскій поверхні.
Однак у трьох вимірах ймовірність повернутися до вихідної точки різко знижується. “П’яний птах” (випадковий процес у 3D) має приблизно 66% шанс ніколи не повернутися. Математика Полі була не просто абстрактною; вона пояснювала, чому незручні соціальні зустрічі часто відбуваються у двовимірних середовищах, але рідше трапляються у відкритих тривимірних просторах.
Виходячи за рамки соціальної незручності: реальні наслідки
Ця теорема – не просто химерна математична цікавість. Вона має наслідки у різних галузях:
- Хімія та біологія : Випадкові блукання пояснюють, як молекули знаходять рецептори на поверхні клітин. Молекули часто спочатку слабко зв’язуються з мембраною, що скорочує пошук із 3D до більш ефективної 2D поверхні.
- Азартні ігри : “Розпалення гравця” ілюструє, що навіть за чесних шансів тривалі ставки неминуче призведуть до банкрутства, оскільки гравець досліджує всю числову пряму (позитивні та негативні баланси).
- Фізика : Теорема пояснює, чому дифузія швидше у двох вимірах, ніж у трьох.
Чому два виміри гарантують повернення, а три — ні
Ключ полягає в тому, як простір масштабується з кроками. У будь-якому вимірі блукаючий, що робить t кроків, не може відвідати більш ніж t різних точок.
- В одному вимірі простір, який досліджується, зростає повільніше, ніж кількість кроків (t > √t ), змушуючи повертатися.
- У двох вимірах простір відповідає кількості кроків (t = t ), дозволяючи повне покриття.
- У трьох вимірах простір величезний порівняно з кроками (t < t 1.5 ), залишаючи більшість точок невідвіданими і знижуючи ймовірність повернення у вихідну точку.
Урок: розмірність має значення
Випадкове відкриття Полі наголошує, що закони ймовірності по-різному взаємодіють із фізичним простором. Наступного разу, коли ви зіткнетеся з кимось, кого уникаєте, пам’ятайте, що всесвіт може просто застосовувати двомірне правило: на плоскій поверхні все в кінцевому підсумку зустрічається.
