Pembagi persekutuan terbesar, atau GCD, adalah bilangan terbesar yang membagi dua bilangan bulat atau lebih secara merata. Jika tidak ada sisa, maka Anda mempunyai faktor persekutuan. Konsep ini sangat penting untuk menyederhanakan pecahan dan menyelesaikan jenis persamaan tertentu. Kami menyatakannya sebagai PBB(a, b) = c, dengan a dan b adalah bilangan awal dan c adalah pembagi bersama terbesar.
Mari kita lihat 8 dan 12.
8 dibagi 1, 2, 4, dan 8.
12 dibagi 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Faktor bersama adalah 1, 2, dan 4.
Yang terbesar adalah 4.
Jadi, KPK(8, 12) adalah 4.
Mengapa ini penting? Ini bukan hanya untuk pekerjaan rumah. Anda menggunakan pembagi persekutuan terbesar untuk mereduksi pecahan ke bentuk paling sederhana. Ini juga membantu dalam menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan menyelesaikan persamaan Diophantine. Ada tiga cara utama untuk menghitungnya.
Metode Daftar Faktor
Ini adalah cara paling intuitif untuk mencari pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari bilangan-bilangan kecil. Anda membuat daftar semua faktor untuk setiap angka dan memilih faktor terbesar yang dimilikinya.
Ini berfungsi dengan baik ketika angkanya sederhana.
1. Sebutkan faktor bilangan pertama.
2. Sebutkan faktor bilangan kedua.
3. Identifikasi faktor-faktor umum.
4. Pilih faktor persekutuan terbesar.
Untuk jumlah yang lebih besar, metode ini menjadi membosankan. Anda memerlukan pendekatan yang lebih cepat.
Metode Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima memecah bilangan menjadi blok-blok penyusunnya. Ini sering kali merupakan metode yang disukai untuk mendapatkan kejelasan.
Ambil 8 dan 12 lagi.
8 = 2x2x2
12 = 2x2x3
Carilah faktor prima yang terdapat pada kedua daftar tersebut.
Keduanya memiliki dua angka 2.
Kalikan bilangan prima bersama ini: 2 x 2 = 4.
GCDnya adalah 4.
Metode ini berskala lebih baik daripada pencatatan sederhana. Ini mengungkapkan struktur angka-angka.
Algoritma Euclidean
Untuk jumlah yang besar, membuat daftar faktor tidak praktis. Algoritma Euclidean menggunakan pembagian berulang. Ini efisien dan cepat.
Inilah logikanya:
1. Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil.
2. Ambil sisanya.
3. Bagilah pembagi sebelumnya dengan sisa baru ini.
4. Ulangi hingga sisanya nol.
5. Sisa bukan nol terakhir adalah GCD.
Mari kita terapkan pada 8 dan 12.
12 8 = 1 dengan sisa 4.
8 4 = 2 dengan sisa 0.
Berhenti di sini.
Sisa bukan nol terakhir adalah 4.
KPK(8, 12) = 4.
Algoritma ini merupakan tulang punggung kriptografi modern. Ini juga berguna untuk menyederhanakan ekspresi aljabar yang kompleks. Mengetahui cara melakukan pembagian ini dengan cepat menghemat waktu selama ujian atau pemecahan masalah di dunia nyata.
Mengapa Menyederhanakan Pecahan?
Menyederhanakan pecahan menggunakan GCD membuat perhitungan menjadi lebih mudah. Bayangkan
Menemukan pembagi persekutuan terbesar (PBB) terdengar seperti pekerjaan rumah matematika yang kering, tetapi sebenarnya itu hanyalah pengenalan pola. Anda sedang mencari angka terbesar yang dapat dibagi rata menjadi sekumpulan nilai. Mengapa ini penting? Ini menyederhanakan pecahan. Ini membantu dengan penjadwalan. Ini adalah tulang punggung teori bilangan.
Inilah cara Anda melakukannya, tanpa basa-basi.
Pembagi Daftar: Pendekatan Visual
Metode pertama adalah kekerasan. Sederhana saja. Itu visual. Ini berfungsi paling baik untuk jumlah kecil.
Anda mencantumkan setiap pembagi untuk setiap angka yang dimaksud. Kemudian Anda menemukan tumpang tindihnya. Angka tertinggi dalam tumpang tindih tersebut adalah MCD Anda.
Mari kita lihat contoh 6, 12, dan 18.
Hancurkan mereka:
– 6 : 1, 2, 3, 6
– 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
– 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Sekarang, carilah penyebut yang sama. Angka yang muncul pada ketiga daftar tersebut adalah 1, 2, 3, dan 6.
Manakah yang tertinggi? 6.
Jadi MCD(6, 12, 18) = 6.
Semudah itu. Jika jumlahnya semakin besar, cara ini menjadi membosankan. Namun untuk pemeriksaan cepat atau set kecil, ini dapat diandalkan. Ingat: pembagi harus menghasilkan bilangan bulat. Tidak ada desimal. Jika Anda tidak bisa membaginya dengan rapi, itu bukan pembagi.
Faktorisasi Prima: Metode yang Dapat Diskalakan
Metode kedua adalah ketika segala sesuatunya menjadi menarik. Ini lebih kuat. Skalanya lebih baik.
Daripada membuat daftar setiap pembagi, Anda memecah angka-angka menjadi blok penyusun primanya. Ini adalah faktorisasi prima.
Setelah Anda mendapatkan faktor prima untuk setiap bilangan, Anda dapat mengidentifikasi faktor mana yang sama untuk semua bilangan tersebut. Kemudian, kalikan bilangan prima persekutuan tersebut. Hasilnya adalah MCD Anda.
Metode ini cocok digunakan ketika Anda berurusan dengan bilangan yang lebih besar sehingga membuat daftar setiap pembagi menjadi tidak praktis. Ini memaksa Anda untuk memikirkan struktur bilangan itu sendiri, bukan hanya hubungan luarnya.
Perhatikan angka 42 dan 63.
Untuk menemukan MCD-nya, Anda perlu menguraikannya:
– 42 = 2×3×7
– 63 = 3×3×7
Sekarang, cari bilangan prima bersama. Keduanya punya angka 3. Keduanya punya angka 7.
Kalikan faktor persekutuannya: 3 × 7 = 21.
MCD-nya adalah 21.
Ada perbedaan di sini. Jika faktor prima muncul beberapa kali pada kedua bilangan, Anda hanya menghitung jumlah minimumnya saja. Misalnya, jika Anda mempunyai 12 (2² × 3) dan 18 (2 × 3²), faktor persekutuan untuk 2 hanyalah satu bilangan (karena 18 hanya mempunyai satu bilangan 2), dan untuk 3, Anda mengambil satu bilangan. Pangkat terendah dari setiap bilangan prima yang sama menang.
Pendekatan ini menghilangkan dugaan-dugaan. Ini sistematis. Ini tepat sekali.
Mengapa
Pintasan MCM untuk Penghitungan MCD
Ada cara ketiga untuk mencari pembagi persekutuan terbesar, dan cara ini bergantung pada hubungan dengan kelipatan persekutuan terkecil. Anda sudah tahu bahwa KPK adalah bilangan terkecil yang dimiliki oleh dua bilangan bulat sebagai kelipatannya. Rumus yang menghubungkan mereka sangatlah mudah.
MCD(a, b) = |a × b| / MCM(a,b)
Dalam persamaan ini, MCD(a, b) adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b. MCM(a, b) mewakili kelipatan persekutuan terkecilnya. Suku |a × b| hanyalah nilai absolut hasil kali a dan b.
Pertimbangkan untuk menghitung MCD untuk 15 dan 25. Pertama, identifikasi KPKnya. Bilangan pertama yang membagi 15 dan 25 sama rata adalah 75. Itu adalah kelipatan persekutuan terkecil Anda.
Sekarang, masukkan nilainya ke dalam rumus. Hasil kali 15 dan 25 adalah 375. Bagilah dengan 75. Hasilnya adalah 5.
Pembagi persekutuan terbesar dari 15 dan 25 adalah 5.
Menyelesaikan Masalah MCD Langkah demi Langkah
Mari kita lihat contoh nyata menggunakan berbagai metode yang diuraikan sebelumnya.
Latihan 1
Carilah MCD dari 9, 12, dan 21 dengan menggunakan metode listing.
Jawaban: 3
Mulailah dengan membuat daftar setiap faktor yang membagi setiap angka dengan rapi.
- Faktor 9 : 1, 3, 9.
- Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Faktor 21 : 1, 3, 7, 21.
Referensi silang daftar tersebut. Angka 1 dan 3 muncul di ketiga set. Pilih angka tertinggi dalam kumpulan bersama itu.
Jadi, MCD(9, 12, 21) = 3.
Latihan 2
Carilah MCD dari 15, 30, dan 50 dengan menggunakan faktorisasi prima.
Jawaban: 5
Kita perlu memecah 15, 30, dan 50 menjadi komponen utamanya. Mari kita lanjutkan ke dekomposisi:
Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar: Langkah Praktis dan Pintasan
Menemukan pembagi persekutuan terbesar (MCD) sering kali terasa seperti memilah-milah tumpukan angka untuk mencari satu koin emas. Namun begitu Anda melihat polanya, yang terpenting bukanlah menghafal, melainkan menemukan hubungan antara angka-angka tersebut. Mari kita lihat cara kerjanya dalam skenario nyata, bukan hanya teori.
Mulailah dengan 15, 30, dan 50. Sangat mudah untuk tersesat dalam kebisingan di sini. Sekilas, 15 dan 30 memiliki dua faktor prima yang sama: 3 dan 5. Lalu lihat 30 dan 50—keduanya memiliki 2 dan 5 yang sama. Apa manfaatnya bagi kita? Hanya satu nomor yang bertahan di ketiga grup. 5.
Karena hanya ada satu faktor persekutuan, Anda tidak perlu mengalikan apa pun. Jawabannya ada di sana menatap Anda.
MCD(15, 30, 50) = 5
Kesederhanaan ini menipu. Terkadang jumlahnya lebih berantakan. Ikuti latihan berikutnya. Anda memerlukan MCD 72 dan 96. Biasanya, Anda akan menuliskan setiap faktor atau memecahnya menjadi komponen prima. Itu membutuhkan waktu. Lebih penting lagi, dibutuhkan usaha yang mungkin tidak Anda lakukan saat terburu-buru menyelesaikan pekerjaan rumah.
Untungnya, Anda memiliki kode cheat. Masalahnya memberi Anda kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Ini 288.
Anda dapat menggunakan hubungan langsung antara MCD dan KPK untuk menghindari pekerjaan berat. Rumusnya mudah:
MCD(a, b) = (a × b) / KPK(a, b)
Masukkan nomor Anda:
MCD(72, 96) = (72 × 96) / 288
Matematikanya runtuh dengan rapi. Hasilnya adalah 24. Cara ini lebih cepat karena mengandalkan sifat bilangan dibandingkan menghitung secara manual. Ini sangat berguna ketika KPK sudah diketahui atau mudah dihitung.
Daftar Faktor untuk Kejelasan
Tidak semua masalah memberi Anda jalan pintas. Terkadang Anda harus melakukan kerja keras. Pertimbangkan 14, 28, dan 35.
Metode pertama adalah mendaftar. Memang membosankan, tapi tidak bisa dipungkiri.
- Faktor 14 : 1, 2, 7, 14
- Faktor 28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28
- Faktor 35 : 1, 5, 7, 35
Lihatlah daftarnya. Apa yang tumpang tindih? 1 dan 7.
Mana yang lebih besar? 7. Oleh karena itu, pembagi persekutuan terbesar adalah 7. Cukup sederhana sehingga Anda tidak memerlukan rumus yang rumit. Jika Anda bisa membuat daftarnya, Anda bisa menyelesaikannya.
Menggunakan Faktorisasi Prima untuk Himpunan Besar
Sekarang lihat 60, 72, dan 84.
Di sinilah faktor daftar menjadi menjengkelkan. Anda akan memiliki daftar besar. Pendekatan yang lebih baik di sini adalah faktorisasi prima. Anda memecah setiap angka menjadi blok penyusun terkecilnya dan melihat mana yang melekat.
Faktor prima dari 60 : 2, 2, 3, 5
**
Saat Anda memecah bilangan menjadi komponen primanya, Anda sering kali menemukan DNA yang sama. Ambil contoh 60, 72, dan 84. Masing-masing memiliki serangkaian faktor yang unik, namun mereka juga memiliki kesamaan. Secara spesifik, ada tiga faktor prima yang muncul pada ketiga bilangan tersebut.
Faktor-faktor tersebut adalah 2, 2, dan 3.
Anda mungkin melihat ini ditulis sebagai $2^2$ dan 3. Itu hal yang sama. Hanya singkatan dari perkalian berulang.
Langkah Perhitungan
Sekarang sampai pada bagian yang sederhana. Anda tidak menebak. Anda berkembang biak.
Ambil faktor prima persekutuan tersebut dan jalankan melalui kalkulator.
$$2 \kali 2 \kali 3 = 12$$
Atau, jika Anda lebih menyukai notasi eksponen:
$$2^2 \kali 3 = 12$$
Jadi, Pembagi Persekutuan Terbesar (PBT) untuk 60, 72, dan 84 adalah tepat 12.
MCD(60, 72, 84) = 12
Metode ini berhasil karena Anda menghapus semua yang tidak berlaku untuk semua angka dalam kumpulan. Sisanya adalah bilangan terbesar yang dapat membagi semuanya secara merata.
Jika Anda ingin menguji keterampilan Anda lebih lanjut, cobalah mengerjakan latihan pada kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dan PBB. Hal ini membantu memperkuat perbedaan antara menemukan apa yang dibagikan versus menemukan apa yang digabungkan.
