Ділить 30 на 15. Отримуєте 2. Все просто. Це число 2 раціональне. Раціональним є й 0,333… (з періодом). Раціональним є і -4.

А число пі? Ні. Пі — «незграбне». Воно триває безкінечно без повторення. Це робить його ірраціональним.

Позначення множини раціональних чисел — Q. Якщо ви бачите число, яке можна записати як дробу з двох цілих чисел (за умови, що знаменник не дорівнює нулю), воно належить до Q.

Це важливіше, ніж ви вважаєте. Ви використовуєте ці числа для вимірювання інгредієнтів, розділу рахунків та розрахунку швидкості. Вони становлять основу базової математики, фізики та хімії. Якщо ви можете записати число як a /b, воно є раціональним. Якщо ні – ірраціональне.

Ось як відрізнити їх одне від одного, не вириваючи волосся на голові.

Як розпізнати раціональне число за трьома типами

Не всі раціональні цифри виглядають однаково. Деякі є цілими. Деякі десяткові дроби кінцеві. У деяких вони нескінченно повторюються. Усі три типи підходять.

1. Цілі числа (Integers)

Так, цілі числа раціональні. Кожен без винятку.

Візьмемо 5. Воно виглядає просто як “5”. Але ви можете записати його як 100/20. Можна записати як 10/2. Можна записати як 5/1. Поки ви можете висловити його як відношення двох цілих чисел, воно відповідає визначенню.

Негативні числа також працюють. -15 – Раціональне число. Це просто -15/1. Знак не позбавляє його цього статусу.

2. Кінцеві десяткові дроби

Це числа, що закінчуються. Вони не продовжуються нескінченно.

Згадайте 1,575. Або 0,24. Вони виглядають як десяткові дроби, але це просто дроби у камуфляжі. 0,24 – це насправді 24/100. Ви можете скоротити його до 6/25. Оскільки 25 і 6 – цілі числа, 0,24 – раціональне число.

Якщо десятковий дріб закінчується, він раціональний. Завжди.

3. Нескінченні періодичні десяткові дроби

Тут люди часто плутаються.

Візьмемо 1/3. У десятковому вигляді це 0,33333… Вона ніколи не закінчується. Але вона повторюється. Паттерн ясний. Одна цифра знову і знову.

Оскільки вона повторюється, вона є раціональною. Нескінченна довжина не виганяє її з клубу. Паттерн рятує її.

«Кількість із нескінченними десятковими знаками залишається раціональним, якщо вона має періодичний патерн».

Чому число пі не є раціональним (і чому це важливо)

Розглянемо число, яке ви знаєте: пи (π ).

Ми зазвичай записуємо його як 3,14. Але це брехня. Корисна брехня, але брехня.

Пі дорівнює 3,1415926535… і продовжується далі. Цифри ніколи не повторюються. Немає патерну, за який можна було б зачепитися. Ви не можете записати як a / b, використовуючи цілі числа.

Це робить пі ірраціональним.

Це не є помилкою. Це інша категорія. Коли ви бачите десятковий дріб, який продовжується нескінченно без повторення, біжіть. Це ірраціональне число.

Швидке порівняння: Раціональні та Ірраціональні

| Характеристика Раціональні цифри (Q) | Ірраціональні числа |
| :— | :— | :— |
| Вигляд дробу | Можна записати як a /b | Не можна записати як a /b |
| Десятична форма | Кінцева АБО періодична | Ніколи не закінчується, ніколи не повторюється
| Приклади | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, e |

Отже, як перевірити?

  1. Чи можна записати його у вигляді дробу? Так -> Раціональне.
  2. Чи закінчується десятковий дріб? Так -> Раціональне.
  3. Чи повторюється десятковий дріб? Так -> Раціональне.
  4. Чи робить воно і те, й інше? (Закінчується та повторюється?) Неможливо.
  5. Чи триває воно безкінечно без патерна? -> Ірраціональне.

Не магія. Це просто правила.

Вам не потрібен калькулятор, щоб дізнатися, чи є 0,123123 раціональним. Воно повторюється. Воно підходить.

Вам не потрібний калькулятор, щоб дізнатися, чи є √2 раціональним. Це класичне ірраціональне число. Його десятковий дріб ніколи не заспокоюється.

Більшість чисел, з якими ви стикаєтеся у повсякденному житті, є раціональними. Ціни, відстані, час, бали. Вони чисті. Вони передбачувані.

Ірраціональні числа – це аутсайдери. Вони є. Вони важливі у вищій математиці. Але для вашого переліку покупок? Обмежтеся раціональними.

А як щодо квадратного коріння? Деякі їх раціональні (√4 = 2). Більшість – ні (√2). Як відрізнити одне від одного? Це проблема наступного разу. А поки що просто пам’ятайте: якщо число ділиться націло або має період, ви гаразд.

Чому десяткові дроби повторюються (і чому деякі не повторюються)

Ви вже знаєте основу. Тепер погляньмо на заплутану середину. На ту частину, де студенти зазвичай застрягають.

Раціональні числа – це не просто цілі числа. Це просто. Справжня робота починається, коли ви починаєте ділити.

Цілі числа (Z) – це “чисті”. Без десяткових дробів. Тільки 0, негативні та натуральні числа (N). Усередині натуральних чисел у вас є прості та складові. Просто.

Потім ви стикаєтеся з дробами.

Ось поділ, який слід запам’ятати:

  • Кінцеві десяткові дроби. Вони закінчуються. Наприклад, 0.5. Все.
  • Періодичні десяткові дроби. Вони зациклюються нескінченно.

Якщо цикл починається відразу після десяткової точки, це чиста періодичність. Повторюється все.

Якщо кілька цифр йдуть перед початком циклу, це змішана періодичність. Паттерн зрушується.

Розпізнавання цього патерну – ключ. Якщо воно повторюється, воно є раціональним.

Пастка щільності: що знаходиться між числами?

Тут інтуїція підводить.

Виберіть будь-які два раціональні числа. Скажімо, 1 та 2.

Скільки чисел перебуває між ними?

Нескінченна кількість.

Там нескінченна кількість раціональних чисел. 1.2. 1.745. 1.00001. Ви можете втиснути ще одне.

Але ось у чому каверза.

У цьому ж проміжку ховається нескінченна кількість ірраціональних чисел.

Візьміть квадратний корінь із 2. Він приблизно дорівнює 1.41. Він знаходиться між 1 та 2. Але він не є раціональним. Він має нескінченну кількість десяткових знаків, які ніколи не вкладаються в патерн. Ми навіть не знаємо всіх цифр. Вони просто продовжуються.

Таким чином, числова пряма переповнена. Дійсно переповнена.

Операції тримають вас у безпеці (в основному)

Робіть базову математику з раціональними числами і ви залишитеся в області раціональних.

Складіть два дроби? Раціональне. Відніміть? Раціональне. Помножте? Раціональне. Розділіть? Раціональне (поки ви не ділите на нуль).

Система замкнута. Вона захищає себе.

Але візьміть коріння.

Застосуйте квадратний або кубічний корінь до раціонального числа, і двері відчиняться.

Ви можете отримати раціональний результат. Або можете отримати ірраціональний. Це лотерея.

Як відрізнити: патерн проти хаосу

Як їх розрізнити?

Ірраціональні числа не можна записати у вигляді простого дробу двох цілих чисел a та b.

Вони бунтарі.

Їхні десяткові частини нескінченні. Але що важливо, вони не повторюються. Немає патерну. Немає циклу. Лише хаос.

Раціональні числа з нескінченними десятковими дробами зберігають секрет.

У них є “періодичність”.

Шукайте повторення.

Якщо ви бачите цифру або групу цифр, які постійно циклічно повторюються, це раціональне число. Паттерн – це доказ.

Якщо цифри блукають безцільно, ніколи не повторюючи ту саму послідовність, це ірраціональне число.

Кордон проводиться за патерном.

Знайшли цикл – знайшли раціональне число.