Je deelt 30 door 15. Je krijgt 2. Eenvoudig genoeg. Die 2 is een rationeel getal. Dat geldt ook voor 0,333 herhalend. Dat geldt ook voor -4.
Maar pi? Nee. Pi is rommelig. Het gaat eeuwig door zonder herhaling. Dat maakt het irrationeel.
Het symbool voor rationale getallen is Q. Als je een getal ziet dat kan worden geschreven als een breuk van twee gehele getallen (waarbij het onderste getal niet nul is), hoort het thuis in Q.
Dit is belangrijker dan je denkt. U gebruikt deze cijfers om ingrediënten te meten, rekeningen te splitsen en de snelheid te berekenen. Ze vormen de ruggengraat van de basiswiskunde, natuurkunde en scheikunde. Als je het kunt schrijven als a / b, is het rationeel. Als je dat niet kunt, is het irrationeel.
Hier leest u hoe u het verschil kunt zien zonder uw haar uit te trekken.
Hoe je een rationeel getal in drie typen kunt herkennen
Niet alle rationale getallen zien er hetzelfde uit. Sommige zijn heel. Sommige hebben decimalen die stoppen. Sommigen herhalen zich voor altijd. Ze tellen alle drie.
1. Hele getallen (gehele getallen)
Ja, hele getallen zijn rationeel. Stuk voor stuk.
Neem 5. Het lijkt op gewoon “5”. Maar je kunt het schrijven als 100/20. Je kunt het schrijven als 10/2. Je kunt het schrijven als 5/1. Zolang je het kunt uitdrukken als een verhouding van twee gehele getallen, voldoet het aan de definitie.
Negatieve getallen werken ook. -15 is rationeel. Het is gewoon -15/1. Het bord diskwalificeert het niet.
2. Einddecimalen
Dit zijn de cijfers die eindigen. Ze gaan niet eeuwig door.
Denk aan 1.575. Of 0,24. Deze zien eruit als decimalen, maar het zijn slechts vermomde breuken. 0,24 is eigenlijk 24/100. Je kunt het vereenvoudigen tot 6/25. Omdat 25 en 6 gehele getallen zijn, is 0,24 een rationeel getal.
Als het decimaalteken stopt, is het rationeel. Altijd.
3. Herhalende decimalen
Dit is waar mensen in verwarring raken.
Neem 1/3. In decimale vorm is het 0,33333… Het eindigt nooit. Maar het herhaalt zich. Het patroon is duidelijk. Eén cijfer, steeds opnieuw.
Omdat het zich herhaalt, is het rationeel. De oneindige lengte schrikt hem niet uit de club. Het patroon slaat het op.
“Een getal met oneindige decimalen is nog steeds rationeel als het een periodiek patroon heeft.”
Waarom pi niet rationeel is (en waarom dat ertoe doet)
Laten we eens kijken naar een getal dat je zeker kent: pi (π ).
We schrijven het meestal als 3.14. Maar dat is een leugen. Een nuttige leugen, maar een leugen.
Pi is 3,1415926535… en het blijft doorgaan. De cijfers herhalen zich nooit. Er is geen patroon waar je je aan kunt vastklampen. Je kunt pi niet schrijven als a / b met gehele getallen.
Dat maakt pi irrationeel.
Het is geen vergissing. Het is een andere categorie. Als je een decimaal ziet dat voor altijd doorgaat zonder herhaling, ren dan weg. Het is irrationeel.
Snelle vergelijking: Rationeel versus irrationeel
| Kenmerk | Rationele getallen (Q) | Irrationele getallen |
|---|---|---|
| Breukvorm | Kan worden geschreven als a / b | Kan niet worden geschreven als a / b |
| Decimale vorm | Beëindigt OF herhaalt | Beëindigt nooit, herhaalt nooit |
| Voorbeelden | 5, -2, 0,75, 1/3 | π, √2, e |
Dus hoe controleer je?
- Kun je het als een breuk schrijven? Ja -> Rationeel.
- Stopt de decimaal? Ja -> Rationeel.
- Herhaalt het decimaalteken zich? Ja -> Rationeel.
- Doet het beide? (Stop en herhaal?) Onmogelijk.
- Gaat het eeuwig door zonder patroon? -> Irrationeel.
Het is geen magie. Het zijn maar regels.
Je hebt geen rekenmachine nodig om te weten of 0,123123… rationeel is. Het herhaalt zich. Het is binnen.
Je hebt geen rekenmachine nodig om te weten of √2 rationeel is. Het is een klassiek irrationeel getal. Het decimaalteken wordt nooit afgewikkeld.
De meeste getallen die je in het dagelijks leven tegenkomt, zijn rationeel. Prijzen, afstanden, tijd, scores. Ze zijn schoon. Ze zijn voorspelbaar.
De irrationele mensen zijn de uitschieters. Ze bestaan. Ze zijn belangrijk bij geavanceerde wiskunde. Maar voor je boodschappenlijstje? Houd je aan de rationele argumenten.
Hoe zit het met vierkantswortels? Sommige zijn rationeel (√4 = 2). De meeste zijn dat niet (√2). Hoe weet je welke wat is? Dat is een probleem voor de volgende keer. Onthoud voorlopig: als het netjes wordt verdeeld of zich herhaalt, zit je goed.
Waarom decimalen zich herhalen (en waarom sommige niet)
Je kent de basis al. Laten we nu eens naar het rommelige midden kijken. Het deel waar studenten meestal vastlopen.
Rationele getallen zijn niet alleen hele gehele getallen. Dat is gemakkelijk. Het echte werk gebeurt als je dingen opsplitst.
Gehele getallen (Z) zijn de schone. Geen decimalen. Slechts 0, negatieven en natuurlijke waarden (N). Binnen naturals heb je prime-lenzen en composieten. Eenvoudig.
Dan druk je op de breuken.
Hier is de splitsing die u moet onthouden:
- Exacte decimalen. Ze stoppen. Zoals 0,5. Klaar.
- Periodieke decimalen. Ze blijven voor altijd in een lus.
Als de lus direct na de komma begint, is deze puur periodiek. Het geheel herhaalt zich.
Als er een paar cijfers blijven hangen voordat de lus begint, is er sprake van gemengd periodiek. Het patroon verschuift.
Deze patroonherkenning is de sleutel. Als het zich herhaalt, is het rationeel.
De dichtheidsval: wat zit er tussen de cijfers?
Dit is waar de intuïtie faalt.
Kies twee willekeurige rationale getallen. Zeg 1 en 2.
Hoeveel cijfers staan er tussen?
Oneindig.
Er zijn daar oneindige rationele getallen. 1.2. 1.745. 1,00001. Je kunt er altijd nog eentje in stoppen.
Maar hier is de kicker.
Er zijn ook oneindige irrationele getallen verborgen in datzelfde gat.
Neem de wortel van 2. Deze is ongeveer 1,41. Het ligt tussen 1 en 2. Maar het is niet rationeel. Het heeft oneindige decimalen die nooit in een patroon terechtkomen. We kennen niet eens alle cijfers. Ze gaan gewoon door.
De getallenlijn is dus overvol. Echt druk.
Operaties houden u (meestal) veilig
Doe basisberekeningen met rationale getallen en je blijft rationeel.
Twee breuken optellen? Rationeel. Aftrekken? Rationeel. Vermenigvuldigen? Rationeel. Verdeling? Rationeel (zolang je niet door nul deelt).
Het systeem is gesloten. Het beschermt zichzelf.
Maar pak de wortel.
Pas een vierkantswortel of derdemachtswortel toe op een rationaal getal en de deur gaat open.
Misschien krijg je een rationeel resultaat. Of misschien krijg je een irrationele. Het is een gok.
Zoek het verschil: patroon versus chaos
Hoe kun je ze uit elkaar houden?
Irrationele getallen kunnen niet worden geschreven als een eenvoudige breuk van twee gehele getallen a en b.
Zij zijn de rebellen.
Hun decimale delen zijn eindeloos. Maar cruciaal is dat ze zich niet herhalen. Geen patroon. Geen lus. Gewoon chaos.
Rationele getallen met oneindige decimalen hebben een geheim.
Ze hebben periodiciteit.
Zoek de herhaling.
Als je een cijfer of een groep cijfers ziet die continu ronddraaien, is dit rationeel. Het patroon is het bewijs.
Als de cijfers doelloos ronddwalen zonder ooit dezelfde reeks te herhalen, is dat irrationeel.
De lijn wordt getrokken door het patroon.
Zoek de lus. Je hebt het rationele gevonden.
