Ruim een eeuw geleden bevond wiskundige George Pólya zich in een ongemakkelijke sociale cirkel. Terwijl hij door het bos bij Zürich wandelde, kwam hij herhaaldelijk dezelfde student en hun verloofde tegen, een toeval dat hij gênant vond. Gedreven om te begrijpen waarom dit steeds weer gebeurde, wendde Pólya zich tot de wiskunde, niet om de ontmoetingen te vermijden, maar om te bewijzen of dergelijke herhaalde botsingen onvermijdelijk waren.
Zijn werk onthulde een fundamentele waarheid over willekeurige bewegingen en dimensionaliteit: willekeurige wandelingen gedragen zich anders in twee dimensies dan in drie dimensies. In wezen zal een willekeurige wandelaar – een theoretische entiteit die willekeurig beweegt – uiteindelijk terugkeren naar zijn startpunt op een vlak oppervlak (zoals een bosbodem), maar kan hij permanent verdwalen in de driedimensionale ruimte (zoals een klimrek).
Het bewijs achter de lastige ontmoetingen
Pólya’s initiële vraag was simpel: als iemand willekeurig ronddwaalt, wat is dan de kans dat hij naar huis terugkeert? Hij generaliseerde dit door een enkele wandelaar op een oneindig raster te beschouwen, die in willekeurige richtingen beweegt. Het antwoord: een willekeurige wandelaar zal terugkeren. Dit betekent ook dat twee wandelaars die op hetzelfde punt starten, elkaar gegarandeerd oneindig vaak tegenkomen op een vlakke ondergrond.
In drie dimensies neemt de kans op terugkeer naar de oorsprong echter dramatisch af. Een “dronken vogel” (een willekeurig proces in 3D) heeft een kans van ongeveer 66% om nooit meer terug te keren. Pólya’s wiskunde was niet alleen abstract; het verklaarde waarom lastige sociale ontmoetingen vaak voorkomen in tweedimensionale omgevingen, maar minder waarschijnlijk zijn in open, driedimensionale ruimtes.
Voorbij sociale onhandigheid: implicaties voor de echte wereld
Deze stelling is niet alleen maar een eigenzinnige wiskundige curiositeit. Het heeft gevolgen op verschillende gebieden:
- Chemie en biologie : willekeurige wandelingen leggen uit hoe moleculen receptoren op celoppervlakken vinden. Moleculen binden zich vaak eerst losjes aan een membraan, waardoor de zoektocht van 3D naar een efficiënter 2D-oppervlak wordt verminderd.
- Gokken : De ‘ondergang van de gokker’ illustreert dat zelfs met eerlijke kansen langdurig gokken onvermijdelijk tot faillissement zal leiden, aangezien de gokker de hele getallenlijn verkent (positieve en negatieve saldi).
- Natuurkunde : de stelling verklaart waarom diffusie sneller is in twee dimensies dan in drie dimensies.
Waarom twee dimensies retourgarantie garanderen, en drie niet
De sleutel ligt in de manier waarop de ruimte met stappen schaalt. In welke dimensie dan ook kan een wandelaar die t stappen zet niet meer dan t verschillende punten bezoeken.
- In één dimensie groeit de onderzochte ruimte langzamer dan het aantal stappen (t > √t ), waardoor retracering wordt gedwongen.
- In twee dimensies komt de ruimte overeen met het aantal treden (t = t ), waardoor volledige dekking mogelijk is.
- In drie dimensies is de ruimte enorm vergeleken met de treden (t < t 1,5 ), waardoor de meeste punten onbezocht blijven en de kans op terugkeer naar de oorsprong kleiner wordt.
De les: dimensionaliteit is belangrijk
Pólya’s toevallige ontdekking benadrukt dat de wetten van het toeval op een andere manier interageren met de fysieke ruimte. De volgende keer dat je iemand tegenkomt die je ontwijkt, onthoud dan dat het universum misschien wel een tweedimensionale regel oplegt: op een plat vlak komt alles uiteindelijk samen.
