Il y a plus d’un siècle, le mathématicien George Pólya se trouvait dans une situation sociale délicate. Alors qu’il se promenait dans les bois près de Zurich, il rencontra à plusieurs reprises le même étudiant et leur fiancée, une coïncidence qu’il trouva embarrassante. Poussée à comprendre pourquoi cela persistait, Pólya s’est tournée vers les mathématiques, non pas pour éviter les rencontres, mais pour prouver si de telles collisions répétées étaient inévitables.
Son travail a révélé une vérité fondamentale sur les mouvements aléatoires et la dimensionnalité : les marches aléatoires se comportent différemment en deux et en trois dimensions. Essentiellement, un marcheur aléatoire – une entité théorique se déplaçant de manière aléatoire – reviendra éventuellement à son point de départ sur une surface plane (comme un sol forestier) mais peut se perdre définitivement dans un espace tridimensionnel (comme un gymnase dans la jungle).
La preuve derrière les rencontres difficiles
La question initiale de Pólya était simple : si quelqu’un erre au hasard, quelle est la probabilité de rentrer chez lui ? Il a généralisé cela en considérant un seul marcheur sur une grille infinie, se déplaçant dans des directions aléatoires. La réponse : un marcheur aléatoire reviendra. Cela signifie également que deux marcheurs partant du même point sont assurés de se rencontrer un nombre infini de fois sur une surface plane.
Cependant, en trois dimensions, la probabilité de revenir à l’origine diminue considérablement. Un « oiseau ivre » (un processus aléatoire en 3D) a environ 66 % de chances de ne jamais revenir. Les mathématiques de Pólya n’étaient pas seulement abstraites ; cela explique pourquoi les rencontres sociales gênantes se produisent fréquemment dans des environnements bidimensionnels mais sont moins probables dans des espaces ouverts et tridimensionnels.
Au-delà de la maladresse sociale : implications concrètes
Ce théorème n’est pas simplement une curiosité mathématique originale. Cela a des implications dans divers domaines :
- Chimie et biologie : des promenades aléatoires expliquent comment les molécules trouvent des récepteurs à la surface des cellules. Les molécules se lient souvent d’abord de manière lâche à une membrane, réduisant ainsi la recherche de la 3D à une surface 2D plus efficace.
- Jeu : La « ruine du joueur » illustre que même avec des cotes équitables, les paris prolongés mèneront inévitablement à la faillite, car le joueur explore toute la droite numérique (soldes positifs et négatifs).
- Physique : Le théorème explique pourquoi la diffusion est plus rapide en deux dimensions qu’en trois dimensions.
Pourquoi deux dimensions garantissent le retour, trois non
La clé réside dans la façon dont l’espace évolue avec les étapes. Dans n’importe quelle dimension, un marcheur faisant t pas ne peut pas visiter plus de t points distincts.
- Dans une dimension, l’espace exploré croît plus lentement que le nombre de pas (t > √t ), obligeant à revenir en arrière.
- En deux dimensions, l’espace correspond au nombre de marches (t = t ), permettant une couverture complète.
- En trois dimensions, l’espace est vaste par rapport aux marches (t < t 1,5 ), laissant la plupart des points non visités et réduisant la probabilité de retour à l’origine.
La leçon : la dimensionnalité compte
La découverte accidentelle de Pólya met en évidence que les lois du hasard interagissent différemment avec l’espace physique. La prochaine fois que vous tomberez sur quelqu’un que vous évitez, n’oubliez pas que l’univers pourrait simplement imposer une règle bidimensionnelle : sur un plan plat, tout finit par se rencontrer.
