Le film de 1997 Good Will Hunting a cimenté une image populaire : le génie méconnu qui résout avec désinvolture des problèmes mathématiques impossibles tout en occupant un emploi de col bleu. La scène, où le personnage de Matt Damon aborde sans effort une équation complexe griffonnée sur un tableau noir au MIT, est devenue emblématique. Mais la réalité est bien moins dramatique et le problème mathématique présenté dans le film est étonnamment simple, voire trivial, pour quiconque possède une compréhension de base de la théorie des graphes.
La véritable inspiration : George Dantzig
Le film s’inspire librement de l’histoire de George Dantzig, un mathématicien qui, alors qu’il était étudiant diplômé en 1939, a accidentellement résolu deux problèmes statistiques non résolus qu’il avait pris pour des devoirs. Dantzig n’était pas un étranger ; il était déjà immergé dans les mathématiques avancées. Son exploit était impressionnant, mais fondamentalement différent de la description du film d’un génie instantané et non entraîné. Good Will Hunting troque la précision contre la commodité narrative. L’histoire du film est plus convaincante car elle exagère le principe : un profane résolvant un problème que des années d’expertise n’ont pas pu résoudre.
Le problème : facile à résoudre
Le défi du tableau noir dans le film consiste à dessiner tous les « arbres homéomorphiquement irréductibles » de taille dix. Cela se traduit par la visualisation de tous les diagrammes arborescents possibles avec dix nœuds, en suivant des règles spécifiques sur la façon dont ces nœuds se connectent. Une fois que vous avez compris la terminologie, la tâche n’est pas une question de génie mais une application méthodique.
La clé pour comprendre est de décomposer le jargon :
- Un arbre est simplement un graphique sans boucles (pas de chemins fermés).
- Homéomorphe signifie que la forme exacte n’a pas d’importance, seules les connexions entre les nœuds ont de l’importance.
- Irréductible garantit qu’aucun nœud ne se connecte à exactement deux autres nœuds, car cela pourrait être davantage simplifié.
Avec ces définitions, le problème devient un casse-tête visuel. On peut commencer par dessiner un nœud central connecté à neuf autres, satisfaisant immédiatement les critères. D’autres solutions peuvent être trouvées en griffonnant un peu systématiquement.
Les mathématiques derrière la solution
Pour une approche plus formelle, le problème peut être exprimé sous la forme d’un simple ensemble d’équations :
n1 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 = 10(où n représente le nombre de nœuds avec un certain nombre de connexions)n1 + 3n3 + 4n4 + 5n5 + 6n6 + 7n7 + 8n8 + 9n9 = 18(représentant le nombre total de connexions)
En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient :
2n3 + 3n4 + 4n5 + 5n6 + 6n7 + 7n8 + 8n9 = 8
Cette équation fournit un cadre pour construire systématiquement toutes les structures arborescentes possibles, rendant la tâche accessible même sans formation mathématique avancée.
De meilleures histoires existent
Même si les cinéastes ont peut-être choisi ce problème par souci de simplicité, il existe des histoires bien plus fascinantes en mathématiques réelles. Un exemple est celui de David Smith, un technicien d’impression à la retraite qui, en 2022, a découvert la « tuile d’Einstein », un polygone qui peut recouvrir un plan de manière apériodique, ce qui signifie qu’il ne répète jamais son motif. Ceci est l’histoire vraie d’un étranger faisant une percée significative.
En conclusion, Good Will Hunting perpétue un mythe romancé sur le génie mathématique. Le défi central du film est loin d’être insurmontable, et des exemples concrets démontrent que les véritables avancées mathématiques proviennent souvent d’un travail dévoué et non d’un génie du jour au lendemain.
