Vor über einem Jahrhundert befand sich der Mathematiker George Pólya in einer schwierigen sozialen Schleife. Bei einem Spaziergang im Wald bei Zürich traf er immer wieder auf dieselbe Studentin und deren Verlobte, ein Zufall, der ihm peinlich war. Um zu verstehen, warum das immer wieder passierte, wandte sich Pólya der Mathematik zu, nicht um die Begegnungen zu vermeiden, sondern um zu beweisen, ob solche wiederholten Kollisionen unvermeidlich waren.
Seine Arbeit enthüllte eine grundlegende Wahrheit über zufällige Bewegung und Dimensionalität: Zufällige Spaziergänge verhalten sich in zwei Dimensionen anders als in drei Dimensionen. Im Wesentlichen wird ein Zufallsläufer – ein theoretisches Wesen, das sich zufällig bewegt – irgendwann zu seinem Ausgangspunkt auf einer ebenen Fläche (wie einem Waldboden) zurückkehren, kann sich aber dauerhaft im dreidimensionalen Raum (wie einem Klettergerüst) verlieren.
Der Beweis hinter den unangenehmen Begegnungen
Pólyas erste Frage war einfach: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nach Hause zurückkehrt, wenn er zufällig umherirrt? Er verallgemeinerte dies, indem er einen einzelnen Wanderer auf einem unendlichen Gitter betrachtete, der sich in zufällige Richtungen bewegte. Die Antwort: Ein zufälliger Wanderer wird zurückkehren. Das bedeutet auch, dass sich zwei Wanderer, die am selben Punkt starten, garantiert unendlich oft auf einer ebenen Fläche treffen.
In drei Dimensionen nimmt die Wahrscheinlichkeit, zum Ursprung zurückzukehren, jedoch dramatisch ab. Bei einem „betrunkenen Vogel“ (ein zufälliger Prozess in 3D) liegt die Wahrscheinlichkeit, dass er nie wieder zurückkehrt, bei etwa 66 %. Pólyas Mathematik war nicht nur abstrakt; Es erklärte, warum unangenehme soziale Begegnungen in zweidimensionalen Umgebungen häufig vorkommen, in offenen, dreidimensionalen Räumen jedoch weniger wahrscheinlich sind.
Jenseits sozialer Unbeholfenheit: Auswirkungen auf die reale Welt
Dieser Satz ist nicht nur eine skurrile mathematische Kuriosität. Es hat Auswirkungen auf verschiedene Bereiche:
- Chemie und Biologie : Random Walks erklären, wie Moleküle Rezeptoren auf Zelloberflächen finden. Moleküle binden sich oft zunächst lose an eine Membran, was die Suche von der 3D- auf eine effizientere 2D-Oberfläche reduziert.
- Glücksspiel : Der „Ruin des Spielers“ verdeutlicht, dass längeres Wetten selbst bei fairen Quoten unweigerlich zum Bankrott führt, da der Spieler die gesamte Zahlenlinie (positive und negative Salden) auslotet.
- Physik : Der Satz erklärt, warum die Diffusion in zwei Dimensionen schneller ist als in drei.
Warum Two Dimensions eine Rückgabe garantieren, Three nicht
Der Schlüssel liegt darin, wie der Raum mit den Schritten skaliert. In jeder Dimension kann ein Wanderer, der t Schritte macht, nicht mehr als t verschiedene Punkte erreichen.
- In einer Dimension wächst der erkundete Raum langsamer als die Anzahl der Schritte (t > √t ), was einen Rückschritt erzwingt.
- In zwei Dimensionen entspricht der Raum der Anzahl der Schritte (t = t ) und ermöglicht so eine vollständige Abdeckung.
- In drei Dimensionen ist der Raum im Vergleich zu den Stufen (t < t 1,5 ) riesig, wodurch die meisten Punkte unbesucht bleiben und die Wahrscheinlichkeit einer Rückkehr zum Ursprung verringert wird.
Die Lektion: Dimensionalität ist wichtig
Pólyas zufällige Entdeckung macht deutlich, dass die Gesetze des Zufalls unterschiedlich mit dem physischen Raum interagieren. Wenn Sie das nächste Mal auf jemanden stoßen, den Sie meiden, denken Sie daran, dass das Universum möglicherweise nur eine zweidimensionale Regel durchsetzt: Auf einer flachen Ebene trifft sich irgendwann alles.
